新加坡初中数学教科书中的探究活动分析①

邢 昀 唐恒钧

(浙江师范大学教师教育学院 321004)

随着对人才创新能力培养要求的提升，探究成为各国数学学习的重要方式，探究能力也成为数学核心素养的重要内涵.而教科书是承载课程理念最为核心的载体，也是数学教学基本线索.因此对教科书中的探究活动进行分析有助于更好地理解数学探究教学的实施，也有利于培养学生的探究能力.新加坡的数学教育因其学生在如TMISS、PISA等国际比较中的突出表现而备受关注.以新加坡SHINGLEE出版社2014年出版的《NEW SYLLABUS MATHEMATICS NORMAL(ACADEMIC)》[1](下简称《NSMN》)教科书为分析载体，借鉴刘云等在《高中数学必修教科书中的数学探究活动分析》[2]中的分析框架，从内容类型、开放水平和完成方式这3个方面对其教科书第2册中“函数及其线性图像”一章的探究活动进行分析，以期为我国数学教育中探究活动的处理提供借鉴.

1 《NSMN》教科书中探究活动概况

教科书中的探究活动是指，在功能上以解决具体问题为目的，要求学生完成“观察分析数学事实，提出有意义的数学问题，猜测、探求适当的数学结论或规律，给出解释或证明”等数学活动[2].这样的数学探究活动必然会促进数学基本活动经验的积累，从而提升学生的数学素养.在分析过程中，以具有上述特征的栏目为分析对象.《NSMN》在其前言部分对教科书栏目设置的说明中指出：“通过调查活动、课堂讨论、思考时间、日志撰写、表现性任务等栏目让学生获得学习经验”.这些栏目与前述所指的探究活动是具有相关性的.因此，本研究主要以“调查活动”，“课堂讨论”，“思考时间”，“日志撰写”，“表现性任务”等显性栏目为主，考察教科书中的探究活动.另外，在对“函数与线性图像”一章的分析中发现，其中 “开心一刻”栏目也具有探究性质，因此也被纳入分析的范围.表1呈现了该章探究活动的数量及具体分布.由于在“2.5生活中线性图像应用”中没有涉及显性栏目，在下面的讨论中我们也只对前四节内容从探究活动的内容类型、开放水平、完成方式等角度进行的分析.

表1 数学探究活动的数量及分布

2 探究活动的文本分析

2.1 探究活动的内容类型

探究活动的内容类型是指所探究的内容的归属，可以细分为数学知识本身的探究和应用数学知识的探究两类.具体地，数学知识本身的探究指向具体数学知识的学习，一般与数学概念、定理、公式、表示、运算、方法、研究方法等有关[2].而且根据数学内容的性质可以分为陈述性知识探究和程序性知识探究.陈述性知识探究是对数学概念、定理和公式的探究.案例1是一个陈述性知识探究.即通过该活动，实现对坐标系横向、纵向及对角方向，以及船所占据的位置即坐标概念的感悟.

案例1：坐标概念(第一节中的“课堂讨论”)

在标记为“自己”的网格中，需要放置如下五条船：一艘航空母舰AAAAA，一艘战舰BBBB，一艘潜水艇SSS，一艘巡洋舰CCC，一艘驱逐舰DD，这些船必须水平或竖直地放置；不可以对角放置.如何放置是合适的？

程序性知识探究是指对进行某项操作活动所需知识的探索，与数学表示、运算、方法、研究方法等的学习有关.比如，第一节“课堂讨论”中要求学生说出网格中的一个位置，说出“击沉”或“错过”，用遮蔽“击沉”船只和给“错过”船只画十字的方式记录位置等探究活动，让学生主动且独立经历坐标的数学表示过程.

应用数学知识探究针对数学知识的应用，分为模仿性应用探究和创造性应用探究两种类型.模仿性应用探究中提前将知识应用步骤告诉学生，并给学生提供可以借鉴模仿的应用程序.例如，第一节“日志撰写”中让学生用类似于战舰游戏里的网格绘制一个商场里的楼层示意图.而在第一节“课堂讨论”中要求学生思考“数对中两数字书写的顺序重要吗？……你认为他们为什么被叫做有序对？”等问题，但学生并没有可直接模仿的前例，属创造性应用探究.学生需要结合网格进行思考，这涉及了数对在网格中的应用，通过创造性应用可以巩固之前对数对的认识和掌握.将数对概念与网格位置结合起来，使得学生对数对概念的理解更加清晰.

根据上述分类，对新加坡初中教科书“函数及其线性图像”一章中的探究内容类型进行统计(表2)发现，应用数学知识进行探究的比例明显多于数学知识本身的探究.而应用数学知识的探究活动中，仔细分析不难发现，虽创造性应用探究的总数多于模仿性应用，但在分布上显得不如模仿性应用均匀，前者主要分布在第四节“直线表达式 ”，占全部创造性应用探究的69.6%.另外，创造性应用探究以抛出问题的形式呈现，且问题大多以“你”开头进行发问，具有强烈地启发学生自主地、创造性思考的引导性.另外，程序性知识的探究显著多于陈述性知识的探究，前者是后者的5倍之多.

表2 数学探究活动的内容类型统计

2.2 数学探究活动的开放水平

在探究活动中，问题、证据、结论和论证是否已经告诉学生，显然影响着学生探究的空间[2].据此可以将探究活动的开放水平由低到高界定为4层次.其中，水平1是指问题、证据、结论已经给出但又要求学生进行论证的情形.比如，第二节“思考时间”中直接给出的问题：“y2=x不是函数的表达式因为……如果输入x的值是负的，输出的y没有取值”.水平2是指问题明确，证据已经给出，而结论和论证尚未给出的探究活动.比如，第二节“思考时间”中的问题：“可能有这样一个函数，使得两个输入的x都有相同的y值吗？(提示：考虑函数表达式y=x2)”.水平3只给出问题的探究活动.水平4是指没有直接提出问题而鼓励学生自己提出问题的探究.

根据数学探究活动四水平体系，对“函数及其线性图像”的探究活动进行分析发现(表3)，《NSMN》并没有出现水平4的探究活动，以水平2、水平3为主，分别占61.2%和32.8%，并且在章节安排上总体表现出越到后面的小节开放性水平越高.就初中的数学教科书而言，这样的处理也许是比较理性的.这是因为，水平4对于初中学生而言是比较困难的.而水平1又显得过于直接，不利于培养学生的探究能力.水平2和水平3在开放性程度上处于中等水平，这既贴近大多数学生的认知发展水平，易于在课堂教学中实施，也利于通过探究不断变化学生的最近发展区从而提高学生独立解决探究问题的能力.

特别是，水平3为学生较高水平的探究能力的发展提供了载体.比如，第三节的“课堂讨论”中给出如下情境：

Amirah认为“直线上的每一点都满足函数的表达式y=2x”，与同学讨论她的说法是否正确.

这一探究活动的情境性表述十分开放灵活，能引发学生的求知欲与探究兴趣.当明确了问题之后，如何寻找证据和条件呢？学生需要先观察函数的图像，尝试找到直线上的一些点并利用坐标知识写出它们的坐标，进而代入函数表达式，经过多次探究和计算，最终判断Amirah的说法是否正确.在这一活动中，由于缺少证据和条件，这推动了学生主动探索，大胆尝试，最终找到破解问题的线索，得出结论和论证.

表3 数学探究活动的开放水平统计

2.3 数学探究内容的完成方式

数学探究活动的完成方式是指在探究活动中所需要的数学研究方法的类型[2]，包括实验型探究、观察型探究和思想型探究三类.其中，思想型探究依靠学生逻辑的推理和思维的抽象即可得到解决，观察型探究需要先用眼观察得到信息，再结合思考才能完成，实验型探究要求学生动手操作实验，观察并抽象，最终完成探究活动.探究活动完成方式的多样性展示了学生进行各种探究必要的多种途径.在教学中，巧妙设计观察型和实验型探究，学生的实践能力将得以提升，而较为纯粹的思想型探究则有助于学生思维的灵活性与开放性.生活中的实际问题往往最常用观察型和实验型探究，但是却始终需要思维的引领，后者有利于学生在面临真实情境时更有效地解决问题.

尽管实验型探究活动最多，但总体而言三种完成方式的占比大致相当.而且不论是哪种类型的探究，都普遍遵循由易到难、循序渐进的探究顺序.比如，利用电子数据表，先把直线y=mx+c中的c值由-3一个单位一个单位地变换到3，让学生在一次次的观察中发现图像的变化，学生有机会总结出c的值总是与x为0时y的坐标相等的规律，从而可以从图像感知字母c所代表的值的意义，实现数形结合.又比如，在此基础上，又设计了按0到5，0到-5的顺序变化m值的探究活动，最终希望学生探究出“m为正值和m为负值的直线之间的不同”，从而利用信息技术实现了一整套的实验性探究活动.这样直观的探究活动会比教师的讲授更加令学生印象深刻，有助于更加透彻地理解数学概念的本质，形成数学知识间的联系.

3 结论与启示

3.1 关注程序性知识探究与创造型应用探究，兼顾其他探究的交叉进行

有研究表明，程序性知识与创造性应用探究活动对学生问题解决能力及创新意识的培养作用更大，特别是数学知识的创造性应用，它更能帮助学生学会数学地思维[2].从“函数及其线性图像”的第一节开始，一直是以程序性知识探究和创造性应用探究占主导地位，最高占据总探究活动的88.2%.这样的处理有助于引导学生形成自主探索的意识与能力.同时，教科书在内容设置过程中也遵循陈述性知识探究与程序性知识探究、模仿性应用探究与创新性应用探究的交叉进行，这有利于使得探究水平逐级递升，避免因跨度太大而导致学生难以接受.

3.2 设置不同探究水平间的过渡，稳步推进探究向更高水平发展

与探究活动内容类型类似，“函数及其线性图像”整体上开放水平较高.不同层次开放水平的探究活动的设置根据学习的主题，有鲜明的比例侧重.在本章的前三节内容的设置中，从要求较低的水平2探究活动切入，这有利于用一定难度的探究引发和推动学生积极思考，并使学生有机会体悟坐标系的价值和函数意义与功能.而到第四节，水平3探究活动的比重明显上升，并超过水平2.可见，在开放水平上，新加坡教科书的设置也是按照学习的进程递进的.在保证适当探究开放水平的同时也追求着给学生提供更大的探究空间.

3.3 思维和实践并重，为不同潜能的学生提供不同的发展路径

从完成方式上看，各种完成方式的探究活动均有，并且从总体上看，三种完成方式分布较为均衡.对于每一种完成方式的探究活动，其数量在第四节均达到了较多，这也体现了随着知识学习的深入，探究活动设计的最终要求是着力培养学生在不同领域的潜能.操作实验使数学知识的呈现更加直观、可视化，也使学生更易于观察发现规律.观察能力和动手操作能力都是认识事物十分重要的能力，其敏锐度和灵活度将助推思维的发展，当然思维指导下的观察和实验也必将开展得更为有效.

总之，探究能力已成为学生需要养成的一项重要能力，教科书中的探究活动是学生探究能力发展的重要载体.从对新加坡初中数学教科书中“函数及其线性图像”一章中探究活动的分析中发现，其在探究活动的内容、开放水平及完成方式的设置是有启示性的.