展示过程 启发探究 递进生长——基于数学教学的几点认识

☉安徽省临泉第一中学 李宗芝

数学教学是数学思维活动过程的教学，课堂教学是学生获取数学知识、提高数学思维能力、形成数学核心素养及养成良好的数学思维品质最重要的途径.如何使我们的数学教学生成最大的效益？为此，笔者从以下几个方面谈谈对数学教学的认识.

一、数学教学应是“过程式”教学

数学教学是师生之间、生生之间交往互动与共同发展的过程.因此，在数学教学中要引导学生自主寻求知识产生的起因，让学生看到思维的过程，主动参与知识的发现，探索知识与其他事物的联系，在探索过程中形成概念、寻求规律、获得结论，这也是提高学生学习积极性和发展其数学能力的有效措施.课堂是数学教学的主阵地，数学课堂教学无怪乎数学知识（概念）的教学和数学解题的教学，因此我们应做好这两方面的工作.

1.数学概念的教学应是过程的教学

数学概念是反映现实世界的数量关系和空间形式的本质属性的思维形式，它是整个数学知识的基础，是数学思想方法的载体.数学课堂教学离不开概念教学.而数学概念的教学不应是“结论”的教学，而应是“过程”的教学.在教学过程中，要把概念的形成、发展过程展现给学生，让学生弄清概念的来龙去脉，从而理解概念的本质属性.

例1教学双曲线定义时，依据定义中的关键词“绝对值”、“常数”、“小于|F1F2|”，为了使学生有比较深刻的认识和理解，对此进行了下面的“过程式”教学：将定义中的“小于|F1F2|”换为“等于|F1F2|”，其余不变，则点的轨迹是什么？将定义中的“小于|F1F2|”换为“大于|F1F2|”，其余不变，则点的轨迹是什么？将定义中的“绝对值”去掉，其余不变，则点的轨迹是什么？若令“常数”等于零，其余不变，则点的轨迹是什么？将“小于|F1F2|”去掉，其余不变，则点的轨迹是什么？

通过这样的“过程式”教学，澄清学生的模糊认识，加深学生对双曲线定义的理解，从而在审题中不被“形”所迷惑，让学生能透过“形”的本质来发现问题的本质.

2.在解题教学中应展示数学思维的形成过程

数学课堂教学也离不开解题教学.数学“解题教学”不应是“结果”的教学，而应是“过程”的教学.在“解题教学”的过程中，教师不能只告诉学生每一步如何做，而是要把为什么这么做的所思、所想的“思路历程”展现给学生，让学生经历一次探索与解决问题的过程，教会学生如何通过自己的分析来获得解题思路.

二、数学教学应是“探究式”教学

古希腊生物学家罗塔戈说过：“头脑不是一个要被填满的容器，而是一把需被点燃的火把.”德国教育家第斯多惠也有一句名言：“一个坏的教师奉送真理，一个好的教师则教人发现真理.”由此，数学教学不应是“灌输式”的教学，而应是“探究式”的教学；数学教师不应是“灌输者”，而应是“点火者”.教师在数学教学的过程中，应多为学生创设问题情境，启发学生思考和探究，激发学生学习的积极性，将教学过程变为师生共同探索知识的过程，以帮助学生在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，从而获得广泛的数学活动经验.

例2已知数列{an}中，a1=5，a2=2，an=2an-1+3an-2（n≥3），对于这个数列的通项公式作一研究，能否写出它的通项公式？

多数与之配套使用的教辅书籍给出的解答是：

解法1：由an=2an-1+3an-2（n≥3），故可得an+an-1=3（an-1+an-2），an-3an-1=-（an-1-3an-2）.

又a1=5，a2=2，

由以上两式可得4an=3n-1×7+（-1）n-1×13.

故数列{an}的通项公式是

在上述解答过程中，“an+an-1=3（an-1+an-2），an-3an-1=-（an-1-3an-2）”这两个关系式，让人感到“突兀”，我们只能权当是“观察”出来的.为了易于大家接受，对此题进一步探究得出了求解这类数列问题的一种通用方法：

解法2：将an=2an-1+3an-2两边同时加上λan-1，得an+

又a1=5，a2=2，

由以上两式可得4an=3n-1×7+（-1）n-1×13.

故数列{an}的通项公式是

由这一方法我们可以拓展到形如an=pan-1+qan-2（n≥3）的“双项递推”数列{an}求通项公式的一类问题：

在递推式的两边同时加上λan-1，整理可得an+λan-1=

三、数学教学应是“生长式”教学

波利亚有句名言：“掌握数学就是意味着善于解题.”新知识的学习和巩固都需要通过解题来实现，解题是数学教学的核心.提高解题效益的前提是教师做好例题和习题的设计.在设计过程中，教师首先要认真分析教材和学情，理清教学内容的结构，然后精心筛选和设计，并用恰当的方式展开，从而变“罗列式”为“生长式”，由浅入深，逐步生长，组成一个有机的整体，凸显其典型性、层次性、变化性和有效性.

数学教学中要深刻挖掘例题、习题的教育功能，通过对原题进行适当变式，递进生长，延伸出具有相关性、相似性、相反性的新问题.这样，不仅能激活学生的思维，为学生展现出“活生生”的思维过程，也能有效地培养学生思维的深刻性、广阔性、独创性和灵活性，还能有效地提高学生发现和提出问题、分析和解决问题的能力.

例3点A，B的坐标分别是（-5，0），（5，0），直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是，试求点M的轨迹方程，并由点M的轨迹方程来判断轨迹的形状.

解析完该题后进行了下面的变式.

变式1：将上题中的改为，结果如何呢？

变式2：将A，B的坐标分别改为（-a，0），（a，0），将改为，结果如何呢？

变式3：将A，B的坐标分别改为（-a，0），（a，0），将改为，结果如何呢？

变式4：将A，B的坐标分别改为（-a，0），（a，0），将改为m（m≠0），结果如何呢？

通过对课本题目的解答及变式，归纳出了以下规律：平面内的动点到定点A（-a，0），B（a，0）的斜率乘积等于常数m（m≠0，m≠-1）的点的轨迹是椭圆或双曲线.当常数m＜0且m≠-1时，轨迹是除去两个定点A，B的椭圆；当常数m＞0时，轨迹是除去两个定点A，B的双曲线.其中两个定点分别是椭圆或双曲线的顶点.从而使学生的思维得到了升华.

总之，在数学课堂教学中不应只给学生提供“黄金”，更要教会学生“点金术”，若要真正促进学生数学思维的形成和发展，就要把课堂还给学生，引发学生积极思考，让每位学生在数学思维的世界里自由地翱翔，向数学课堂要效益，通过解决问题，促进学生对数学知识的理解，让每位学生主动且积极地参与教与学.正如华师大叶澜教授所说：“课堂是向未知方向挺进的旅程，随时都有可能发生意外的通道和美丽的因素，而不是一切都必须遵循固定路线而没有激情行程.”当然，教师要做到这一点，首先，要对问题的本身有深入的研究；其次，对学生的课堂参与要给予足够的激励和引导.把课堂还给学生，注意倾听他们的心声，点燃他们的思维之火.