相等向量的“困扰”与教学实践研究

☉江苏省溧水高级中学 李国林

在一些教学中，不难发现有些老师对向量的教学是存有疑问的.向量作为一个运算体系，不仅具备图形的直观性也具备数的抽象性，这让大家无所适从.本文将从教学中体现出来的一些与向量相关的问题进行思考.

一、相等向量的“困扰”

向量相等这一概念使得很多初次接触向量的人无法对平行或者共线作出区分，但这样定义，保障了向量在几何构建中的基础作用，而且是必不可少的.

1.运算需要方面

代数运算中，合并和化简是不可或缺的，且基本元的选择多为实数、单项式.在向量几何中，可将空间中某一向量看成运算的基本元，但这样是非常复杂的.所以为了让运算基本元更简便，可以这样定义向量变换的不变性：①平移不会改变其本身；②数乘不改变共线.也就是说空间内两个任意的平行或共线的向量，可以这样理解：②反向或者伸缩得到的结果是①.因此，“非零代表”（基底）可以线性地表达三维空间内任意的一组平行向量.这样运算基本元也就变得更加简便了.

2.知识内部的和谐方面

相等向量的概念是了解向量加法中的三角形法则和平行四边形法则的基础；通过平行四边形法则可以证明向量的交换律“c=a+b=b+a”；向量减法运算的意义可以从“a+（-b）”的几何意义中得出；可以这样说，若没有相等向量，就无法将向量差的坐标表示与其几何意义联系起来.

有这样一个问题：向量中的“基本定理”有何意义？

数学中的“基本定理”都具备一个里程碑的作用，就比如代数基本定理：每个次数≥1的复系数多项式在复数域上至少有一根，这个定理对我们分解多项式、求方程的根都有很大的帮助.我们将从这样两个方面来展现向量“基本定理”的作用.

（1）“基底”是其中心思想，它使运算基本元得到了很大程度的简化，这也体现了历代数学家的智慧.就像前面所说：①直线的基本定理是一维基向量体现共线向量；②平面的基本定理是二维基向量体现共面向量；③空间的基本定理是三维基向量体现空间向量.这三种维度的基本定理都可以最大限度地实现向量基本元的简化.

（2）基于这三个维度的基本定理，如果能够在图形中选择一个合适的基底，那么在使用向量来解答几何问题时就会更加方便了.

二、向量教学实践研究与思考

向量这一章很重要，但教学的任务却仅仅停留在了解的程度，这是远远不够的.向量的基本定理与其他的几何定理并不一样，向量中选基底的这种思想需要引起高度的重视.在某次课堂上，某位老师这样导入向量知识：

①小明在银行存了x元，小红存了小明的3倍，小王存了小明的1.5倍，小吴欠别人钱，欠的钱是小明的2倍，用小明的钱来表示这三人的钱.

②平面内存在非零向量e1，则哪些向量可以用e1来表示？哪些不可以？

③可不可以加一个非零向量e2来使得平面上的所有向量都可以用e1，e2表示出来？

不难看出，问题①和②有推进关系，并且有相似之处.提出问题③时，这位老师在黑板上画了四组图，分别由三个互不相等且方向不同的向量e1、e2和a组成，然后再点拨学生，平移不变自身，要求学生画出以e1、e2为邻边，a为对角线的平行四边形，并算出e1、e2正向伸长或者反向缩短的系数，从而写出a的表达式，然后由四位同学在黑板上完成.

图1

图2

图3

图4

也就是说，借助“数乘不变共线”，大部分学生可以完成平行四边形的构造，平面的基本定理也能很快地概括出来.章建跃先生说过：基本定理中的数乘系数作为坐标λ1，（λ1，λ2），（λ1，λ2，λ3），这三者分别具有刻画直线、平面、空间的功能，从而体现了基本定理的深化.

很多学生对于向量的掌握程度只有单纯的坐标运算，而对于向量的整体运算、理解及运用都是不到位的，但整体运算对于解题是有很大帮助的.那是什么原因导致这种情况的呢？笔者认为有这两种：

①整体运算就是把相关向量用基向量表示出来，且基向量没有模长和方向的要求，如果把基向量的模长定为1，并要求两两垂直，再分离基向量的系数，去掉基本元，这就是坐标运算的原理.其实，不难看出，这两个都是向量的定理，其中的差异是要对向量的定义有着熟练的掌握.联系直角坐标系进行坐标运算，这些学生已经学过了，所以对于向量的运算，大家要渐渐养成用坐标运算来解决向量问题的习惯.

②学习向量也是为了在高考中解题更加方便，所以只需构建相应的直角坐标系再用向量解决立体几何问题即可.

问题发现了，那么就要寻找解决问题的方法.解决的方法还是要从基本定理出发，逐渐深入地理解.其实整体运算可以有效解决对于某些建立坐标系较为复杂的问题.如下题：

已知四面体A-BCD（图5），若AC⊥BD，AB⊥CD，求证：AD⊥BC.

图5

这道题体现了在四面体中若有两对棱垂直，那么第三对棱也互相垂直.在没有学过向量时，只能通过构造平面，而这种方法很复杂，即使是构建坐标系也很复杂.但如果掌握了向量的整体运算，这道题便可以很快得到解决.

有同学可能会有疑问，解析几何和向量几何都是运用直角坐标系来解决问题，他们之间有什么异同点.

第一，解决问题的方式.不同点在于解析几何必须在坐标系内完成，而向量不仅仅依赖于坐标系.相同点在于它们的运算过程大同小异，通过解析几何的解题三步骤，可以得到向量几何的解题三步骤：

（1）运用定理，将线段转化为向量.

（2）向量进行运算，得出模长、夹角.

（3）运算结果具体成相应的几何性质.

第二，解决的手段.解析几何通过方程，横纵坐标相互制约，可得到运动轨迹.向量几何是通过向量运算，所以它的解题方法多种多样.对于平行和三点共线的问题，解析几何的解题是需要确定斜率和点是否在直线上，向量几何只需要记住“数乘不变共线”即可.

有这样一道题：如图6，A，D，B三点在同一直线上，AB=3AD，BC=3DE，DE∥BC.证：A，E，C三点在同一直线上.

图6

由于高考对于立体几何向量的要求不高，所以大部分同学不会学得很透彻，如何解决学得过于片面这一问题呢？有这样一道问题：

假设向量a=（m，1），设b=（1，2），且|a+b|2=|a|2+|b|2，则实数m=______.

上述题目是一道高考原题，只需要套用公式即可，但并不能体现向量知识的深度，这对于教师的教学来说也是一种阻碍，若想激发学生的学习兴趣，让学生从心底去学习才能真的学得好.

其实解析几何与向量都是有解题技巧的，若教师对向量的教学加以重视，并且掌握向量解题的技巧，便可以大大加快解题速度，何乐而不为呢！