基于核心素养的提升高三数学得分的思考与实践

☉山东省菏泽市定陶区第一中学 申 峰

欲提升高三学生的数学得分，需要先理清高三学生的学习现状，侧重于提高学生的辨识能力和解题思维的灵活性，注重基础、关注常规的重要性，以及设计出新的教学方案，以提高教学效果.

一、高三学生的学习现状

经过高一的不断夯实和高二的全面提高，学生已经大致具备了数学知识网络体系.但是他们到了高三，却常常没有了过去的优势，有时甚至丢盔弃甲.下面结合教学实践，分析高三学生的学习现状.

1.缺乏辨识能力

超几何分布与二项分布是两个重要的概率模型，它们之间既有区别也有联系.多数学生对于它们之间的区别还是缺乏辨识能力.

案例1从某高中随机抽取16名学生，经校医用对数视力表检查得到每位学生的视力，其中“好视力”（不低于5.0）4人.

（1）现从这16人中任选3人，用X表示抽到“好视力”学生的人数，求X的分布列及数学期望；

（2）现从这16人中有放回地抽取3次，每次抽取1人，用X表示抽到“好视力”学生的人数，求X的分布列及数学期望.

错解：（1）因为从这16人中任选1人，抽到“好视力”学生的概率为，所以由题设可知，X服从参数n=3，的二项分布，即的可能取值为0、1、2、

所以X的分布列为：

X=k 0 1 2 3 P（X=k） 2 7 6 4 2 7 6 4 9 6 4 1 6 4

（2）由题设知，X服从参数N=16，M=4，n=3的超几何分布.X的可能取值为1，2，3.

所以X的分布列为：

X=k 0 1 2 3 P（X=k） 1 1 2 8 1 3 3 7 0 9 7 0 1 4 0

辨析：出现上述错解的根源有两个：一是没有认真审题；二是没有理清超几何分布与二项分布应用的前提条件.先过审题关：第（1）问应该是“不放回抽取”；第（2）问很显然是“有放回抽取”.再过基本理论关：利用超几何分布解题时，必须满足“不放回抽取”，即每次抽取时面对的具体情景是互不相同的；利用二项分布解题时，必须满足“独立重复试验”（“有放回抽取”是其中的一个特殊情形），即每次做试验时面对的具体情景是完全相同的.由此可知上述错解恰好将应用超几何分布与二项分布解题的情景搞反了.

解：（1）正确的解析过程即为上述错解中的（2）.

（2）注意到“有放回”地抽取，所以每抽取1次抽到“好视力”学生的概率都是，因此正确的解析过程与上述错解中的（1）相同.

拓展认识：①在n次试验中，某一事件A出现的次数X可能服从超几何分布或二项分布.当这n次试验是独立重复试验时，X服从二项分布；当这n次试验是不放回抽取时，X服从超几何分布.

②当总体容量很大时，超几何分布近似于二项分布，则可将超几何分布问题用二项分布知识加以解决.

③求超几何分布随机变量的期望时，可理解为求n次独立重复试验（任取1件放回），次品率为的次品数的期望，即求

2.解题思维不灵活

解题是数学的核心之一，解题能力是数学能力的直接体现.但我们经常发现学生的解题思路较为单一，思维定式较为明显.

案例2已知圆C：x2+y2=12，直线l：4x+3y=25，则圆C上的任意一点A到直线l的距离小于2的概率为______.

图1

剖析：在探究这个问题时，我们发现部分学生没有认真研读题目，而是选择了烦琐的做法.如求出与直线l：4x+3y=25平行且与l距离为2的直线l′，接着求该直线与圆C的两个交点A、B，然后求劣弧的长度与圆C周长的比值.这一做法费时费力不说，更主要的是计算量非常大.

其实作OE⊥l交直线l′于D，易求得OD=3，而从而易得，由此本题即可实现“秒”杀！

二、通过教学实践不断提高

1.注重基础，关注常规

在高三学生的学习中，部分学生和老师有可能把更多的目光放在压轴题上，甚至把是否能够顺利解答压轴题当作评判学生的一个重要标准.但从高考试卷的总体结构上看，这显然是不合适的.因为在任何一份试卷中，其基础题和中等题通常占80%的分值，这部分题目解答的质量将直接关系到考生的最后得分.因此，不管你的数学水平如何高超，如果不能很好地解答这些常规题，并以较高的分值（甚至是零错误）拿下它，则注定这将是一场失败的考试.因此，我们要引导学生多关注自己在常规题型上的得分，在解答常规题型方面，提倡掌握通性通法，淡化技巧.对于在学习中出现的错误，要认真查找错因，并举一反三，提高学习质量.

2.设计方案，提高效率

我们总是引导学生认真审题，统观全局，注意关注前后小题之间的联系，设计合理的解题方案，在解题方法上下功夫，力求做到不走弯路，将复杂问题简单化.

案例3已知函

（Ⅰ）求函数g（x）在［0，+∞）上的最小值；

教学过程：

第一步，先让学生自主探究，经过短暂思考，很快就设计出如下的解题方案：

第（Ⅰ）题详解，第（Ⅱ）题通过构造函数h（x）=ex-，证明该函数的最小值大于0即可.

这种设计符合常理，但第（Ⅱ）题在实际操作时，还是有好多学生不能顺利解决，其原因是该函数的最小值无法具体求出，因此思维受阻.

第二步，首先帮助学生分析思维受阻的原因，再给出答案.

所以x∈（0，x0）时，h′（x）＜0，h（x）在（0，x0）上单调递减；x∈（x0，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）在（x0，+∞）上单调递增.

所以h（x）＞0，即

第三步，对第（Ⅱ）小题再进行探究，启发学生充分利用第（Ⅰ）小题的结论，设计出新的解题方案如下：先证明当x＞0时.由（Ⅰ）知当x＞0时，g（x）＞0；再证明（构造函数

（Ⅱ）由（Ⅰ）知当x＞0时，g（x）＞0，即x＞0时，ex＞

由h′（x）＞0可得x＞1；由h′（x）＜0可得0＜x＜1，

所以h（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增.

所以h（x）≥h（1）=0.

所以当x＞0时

通过比较第（Ⅱ）小题前后两种解题方案，显然后一种方案简单.这种解法能充分利用第（Ⅰ）小题的结论，巧妙地借助不等式的传递性原理进行过渡，将复杂问题简单化，使证明过程变得简单明了，有效地提高了学生的解题能力.实践证明，注重设计的解题教学，很受学生欢迎，也能够取得较好的教学效果.

总之，做为高三学生，只要我们敢于直面自己在学习数学方面存在的问题，善于采取有效的措施，那么经过一段时间的不懈努力，笔者坚信：我们一定会牢牢掌握高三数学得分的金钥匙，而且一定会发挥得淋漓尽致！