由一道教材习题引起的对周期函数的几点质疑

摘 要：它不是一道三角函数题，由此引发思考：非三角函数的周期函数存在吗？周期函数一定有最小正周期吗？……在三角函数的周期性教学时，有不少同学提出诸如此类问题。

关键词：高中数学;三角函数;周期函数

高中数学（人教A版·普通高中课程标准实验教科书）必修4第47页习题1.4B组第三题：

已知函数y=f（x）的图像如图所示，试回答下列问题：

（1）求函数y=f（x）的周期;

（2）画出函数y=f（x+1）的图像;

（3）你能写出y=f（x）的解析式吗？

高中数学（人教A版·普通高中课程标准实验教科书）必修4第34页关于周期函数的定义如下：

对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有：f（x+T）=f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T就叫做这个函数的周期。

这就是说，当函数对于自变量的一切值每增加或减少一个不等于零的定值时，如果函数值都重复出现，那么这个函数就叫做周期函数。由此可见，周期函数并非局限于三角函数，它的存在是十分广泛。例如，常数函数f（x）=C（C为常数），x∈R，对于函数定义域中的每一个x值都有f（x+T）=C，因此，f（x）是周期函数，每一个非零实数T都是它的周期。再看函数g（x）=x-[x]，x∈R（[x]表示不超过x的最大整数），是以1为周期的周期函数，其图象如图1所示：

在周期函数定义中，“每一个值”的条件能减弱吗？绝对不能。如果我们得知函数f（x）不是当x取定义域内的“每一个值”时，都有f（x+T）=f（x），就可以断言T不是函数y=f（x）的周期，或者说y=f（x）不是周期函数。例如，sinπ4+π2=sinπ4，但是sinπ6+π2≠sinπ6，即π2不是对于定义域中的“每一个x值”都有sinx+π2=sinx，因此，π2不是y=sinx的周期。又如函数：

φ（x）=1，当x≠0时，0，当x=0时，

对任意确定的常数T≠0，尽管φ（x+T）=φ（x）对定义域R中几乎每一个x都成立，但仅仅由于当x=0，x=-T时，等式不成立，从而函数y=φ（x）不是周期函数。

根据周期函数的概念，不难证明：一个周期函数的所有周期构成一个无穷集合。在这无数多个周期中是否存在一个最小正周期？对此我们有着浓厚的兴趣。这是因为：如果发现一个函数存在最小正周期，就可以确定它的所有周期。在研究函数性质时，就可以先在其定义域的一個长度为最小正周期的区间内进行讨论，进而推出函数在整个定义域内的性质。特别地，为周期函数的作图带来了极大的方便。因此，教材中规定：如果在周期函数所有的周期中存在着一个最小的正数，这个最小的正数叫做周期函数的最小正周期。

显而易见，周期函数的最小正周期一定是该函数的周期，反之不然。最小正周期如果存在必定唯一。但并不是任何周期函数都有最小正周期。前面提到的常数函数就没有最小正周期。著名的狄利赫莱函数：

D（x）=1，当x是有理数时，0，当x是无理数时，

以任非零有理数为周期，但由于正有理数集合中没有最小的，所以没有最小正周期。

有趣的是，某些定义在有限区间上的函数，可以经过延拓成为周期函数。例如，定义在[-π，π）上的函数f1（x）=|x|，可以延拓到整个实数集上成为以2π为最小正周期的函数f（x）=|x-2kπ|，（2k-1）π≤x<（2k+1）π，k∈Z。其图象如图2所示：

再如，定义在（0，2]上的函数y1=x2，可以延拓到正实数集上成为以2为最小正周期的函数有y=（x-2k）2，2k

一般地说，我们课本上学过的非周期函数f（x）经过延拓以后都可变为周期函数，延拓的方法是：先将函数f（x）在定义域内限制在一个半开半闭区间[a，a+b）或（a，a+b]上（b>0）（如上面图3就是将y=x2限制在（0，2]上），然后作新函数F（x）=f（x-kb），a+kb

如果要作F（x）的图象，只要将f（x）被“截断”后的图象“一段一段”地左右平移，而每一段的长度（指横坐标的最大间隔）都是b。可以证明：F（x）将是定义在R上的周期函数，其最小正周期T=b。这是因为：若设x0为R+上的任意一点，且有a+k0b

按新函数F（x）的定义应有：F（x0）=f（x0-k0b），而F（x0+b）=f[（x0+b）-（k0+1）b]=f（x0-k0b），故F（x0+b）=F（x0）。

作者简介：

邓娟，四川省南充市，四川省营山中学校。