“直线与圆的位置关系”教学实践与思考

摘 要：直线与圆的位置关系对于高中生解析几何的学习具有承上启下的作用，它是对初中平面几何定性地分析直线与圆的位置关系的承接和延伸，具体而言就是通过直线与圆的位置关系，定量刻画直线与圆的位置关系，进而为后续学习直线与圆锥曲线的位置关系奠定了良好的基础。它的核心思想方法是数形结合并依托坐标法来实现数与形之间的转换，重点是围绕如何使用坐标法解决问题的“基本套路”展开，培养学生养成坐标法的思维习惯。

关键词：高中数学;直线与圆;位置关系

刚进高一的新生，数学基础相对薄弱，没有形成一套良好的数学思维。在知识层面，学生在初中已经定性学习过直线与圆相交、相切、相离的定义和判定。掌握了求两直线交点的坐标、直线的方程、圆的方程以及点到直线的距离公式、两点间距离公式等。在能力层面，学生掌握了利用方程组的方法来求直线的交点，具有用坐标法研究点与圆的位置关系的基础。对于他们来说，解析几何的学习才刚刚开始，对坐标法还处于了解的层次。本文在直线与圆的位置关系教学过程中遵循“以学生为主”的教学模式，教师多提问少讲话。在必要的时候，可以借助信息技术工具（几何画板），通过图形的动态演示为学生的数学探究提供支持。

一、 通过观察，判断直线与圆的位置关系

“数缺形时少直观，形缺数时难入微”。笔者在教授直线与圆的位置关系时，通过提问：“直线与圆有什么样的位置关系？”学生们根据（图1）往往回答“相交”或者“相切”。这时笔者再让同学们通过观察（图2），学生们回答：“相离。”

利用屏幕分辨率以及视觉误差，让学生意识到仅仅依靠几何直观是无法准确判定直线与圆的位置关系。从几何直观的局限性出发，引出课题，让学生主动寻找新的方法（比如坐标法）解决问题，调动了学生探究学习的兴趣。

笔者反思：这里可以让学生经历一个变化的过程，比如先展示一个明显的相离位置关系，然后逐步缩小直线与圆之间的距离。这样先肯定几何直观在一定条件下是可以判断直线与圆的位置关系，然后再暴露其局限性。不能够对几何直观的方法给予全盘否定。

二、 例题探究互动

已知直线l：3x+y=6和圆心为C的圆x2+y2-2y-4=0，判断直线l与圆C的位置关系。

互动环节：以4人小组为单位，针对本题目再设计1至2个问题并完成求解，如果遇到困难可以向其他小组寻求帮助。然后在学生解决例题中位置关系判定之后，进行小组讨论。

例如，有的组的想法是在用方程组联立的方法基础上，可以继续提出求直线与圆交点坐标的问题，还可以继续根据交点坐标求出弦长。

有的组提出的问题想请其他小组成员帮助与解答：在解决例题中的问题时，我们采用了圆心到直线的距离这个方法，那如何继续求交点坐标和弦长呢？

有的组提出我们虽然不方便在几何方法的基础上解决交点坐标的问题，但是可以利用垂径定理求弦长。

笔者反思：课堂上并没有解决从距离的角度求解点的坐标这个问题。事实上，从平面几何的角度，我们是可以计算出交点到x轴，y轴的距离。让学生学会选择合适的方法解决问题。

三、 合作探究——方案设计

请设计一条过点（2，0）的直线和一个以（0，1）为圆心的圆，使得直线与圆相交（相离或相切）并谈谈你的设计思路。

老师提出问题后，留给学生10分钟时间进行分组讨论。讨论过程中学生和老师一起进行小组讨论并且随时可以使用几何画板验证设计方案。讨论结束后，每个小组选派代表上讲台陈述方案。

笔者请同学们观察黑板上这三组方案，还有哪些可以改进和完善的地方？

学生通过积极思考认为第二和第三组的同学在讨论直线斜率的变化过程中没有考虑k不存在的情况，应当分类讨论。

笔者趁热打铁请同学继续观察这三组方案，你能发现什么规律吗？学生通过观察思考归纳如下：

（一） 圆动直线定

①定直线不过圆心（3种位置）。

②定直线过圆心（1种位置）。

（二） 圆定直线动

①定点在圆外（3种位置）。

②定点在圆上（2种位置）。

③定点在圆内（1种位置）。

少了数的严谨，研究只会浮于表面;少了形的直观，研究会相对抽象晦涩难懂。通过合作探究——方案设计这种教学方式，体现了新课程理念，给学生铺设一个平台，给学生充分思考的时间。首先题目是个开放性的题目，通过探究，让学生给出直线与圆不同位置关系下的设计方案，更进一步巩固坐标法使用的一般步骤。其次，学生拿到问题后一般都会先画图再计算，从形入手解决数的问题，在探究过程中充分渗透数形结合以及分类讨论的思想，另外，解析几何中体现的引入参变量、用运动的观点认识和研究问题等，也可以通过这个方案设计问题来引导。

笔者反思：每个方案展示后，针对出现的问题讨论不够充分，新的想法展示也不够。特别是缺少教师针对性的点评。题目本身就是个开放性的问题，那学生的讨论就应该更充分，思维火花的碰撞应该更激烈。

总之，没有过程就没有思维。作为教师要最大限度地给予学生充分时间参与课堂提出问题，解决问题。与此同时，在问题设计、设问方式、问题的探索性以及思维的深刻性上，促进学生全面地观察问题，深入地思考问题，为学生提供了更多的交流和合作的机会，使学生主动构建，积极参与过程，培养学生的数学意识，发展学生的数学感觉，真正学会“数学思维”。从而有利于学生自主学习能力的培养和探索、开拓、创造精神的培養。

参考文献：

[1]陶维林.解析几何教学要突出坐标法思想——“直线与圆的位置关系”教学反思[J].怀化学院学报，2011（9）.

作者简介：

姬慧娟，一级教师，辽宁省本溪市，辽宁省本溪满族自治县高级中学。