聚焦弹簧模型 关注三类问题

武汉

弹簧是高考物理命题的一个经典模型，高考涉及弹簧问题的题型多样，主要围绕弹力的特点、弹力做功与弹性势能的变化等关系展开，与其他的知识如力的平衡、牛顿运动定律、动能定理、动量定理、机械能守恒定律、功能关系、动量守恒定律等问题进行综合。高考中弹簧模型的知识点有：

1.一般为轻弹簧。发生形变时(设形变量为x)，弹簧对其两端物体的弹力沿弹簧的中轴线方向大小相等、方向相反。在弹性限度内，弹力的大小遵循胡克定律F=kx(k为弹簧的劲度系数，大小只由弹簧本身的因素决定)。

2.弹簧的弹性势能变化ΔEp与弹力做功W的关系ΔEp=-W。即弹力做了多少正功，弹簧的弹性势能就减少多少；弹力做了多少负功，弹簧的弹性势能就增加多少。

本文通过典型实例，分类解析弹簧模型在高考中的三类问题。

一、弹簧弹力的大小与特点

图1

【例1】(原创)如图1所示，用一段细线和一根轻弹簧分别系住A、B两个小球。B球的质量为m，A球的质量为M=2m。手握住线的上端沿水平向右做匀加速运动，不计空气阻力，已知重力加速度为g，系统运动稳定时细线与竖直方向的夹角θ=60°，当系统速度为v时细线恰好断开。则以下说法正确的是

( )

A.细线断开前弹簧的轴线与竖直方向的夹角α>θ

B.细线断开后的瞬间弹簧对B球拉力的功率为2mgv

C.细线断开后的瞬间A、B两球的加速度大小相等

D.细线断开后到小球落地前系统沿任何方向的动量均不守恒

【答案】C

图2

【点评】在弹性限度内，弹力大小与弹簧的形变量成正比，即F=kx。弹簧弹力的大小不能发生突变，只有当弹簧的形变量发生变化时弹簧弹力才发生变化。

【例2】(2019年湖北黄冈模拟)(多选)如图3所示，光滑水平地面上，可视为质点的两小滑块A、B在水平外力F的作用下紧靠在一起压缩弹簧，弹簧左端固定在竖直挡板上，此时弹簧的压缩量为x0。以地面上两滑块此时的位置为坐标原点O，水平向右建立位移坐标轴Ox，现将外力F突然反向并使B向右做匀加速运动。则关于外力的大小F、两滑块间弹力的大小FN随滑块B位移x变化的图象可能正确的是

( )

图3

A

B

C

D

【答案】BD

【点评】本题是弹簧与动力学图象相结合的选择判断问题，以上分析求解中通过运用牛顿运动定律分别导出力F、FN随x变化的函数关系式，根据函数关系式及相关的数学知识和可能存在的条件对图象作出正确的判断。

【小结】弹簧的弹力与弹簧的形变量相对应。分析弹簧弹力及变化问题一般从弹簧的形变情况分析入手，确定弹簧原长位置、现长位置及临界位置，找出弹簧形变量x与弹簧两端物体空间位置变化的几何关系，确定弹簧弹力的大小及方向，根据弹簧两端物体的运动状态再结合相关的力学规律求解。

二、弹力做功与弹性势能的变化

图4

【例3】(2019年哈尔滨模拟)(多选)如图4所示，质量相等的小物体A、B用竖直轻弹簧连接，B放在水平地面上，A用一根不可伸长的轻绳相连，轻绳的另一端绕过固定在物体A正上方的光滑小定滑轮D与小环C相连，小环C套在竖直固定的光滑细杆上。开始时小环位于杆上位置R处，此时绳与杆的夹角为θ，物体B与地面恰好无压力。图中SD水平，位置Q与R关于S点对称。现让小环从R点静止释放，已知在环下落的过程中细绳始终处于拉直状态，且环到达位置Q时速度最大。则在小环由R到Q的过程中，下列说法正确的是

( )

A.小环C与物体A组成的系统机械能守恒

B.小环C在位置S处其机械能一定最大

C.小环C从位置R到Q的过程中弹簧的弹性势能可能先减小后增大

【答案】BCD

【点评】当系统内只有重力、弹簧弹力做功时系统的机械能守恒。弹簧弹力做功与路径无关，只与初末位置有关。弹簧弹力做功对应弹簧弹性势能的变化。弹簧的弹性势能与弹簧的劲度系数及形变量有关。同一弹簧的形变量相同时弹性势能相等。

【例4】(原创)如图5所示，劲度系数k=800 N/m的轻弹簧两端分别连接着两个质量相同且均可视为质点的物体A、B，竖立静止在水平地面上。以A物体此时所在的位置为位移坐标的原点，竖直向上建立位移坐标系，给物体A加一竖直向上的力F，通过传感器与DIS系统测出力F随位移x变化的图象如图6所示。已知在A物体运动一段时间后B物体离开地面，设整个过程弹簧都处于弹性限度内，g取10 m/s2。求：

图5

图6

(1)从A开始运动到B离开地面过程中F做的功WF；

(2)A物体运动多长时间B离开地面？

【答案】(1)49.5 J (2)0.4 s

【解析】(1)设两物体质量均为m，在A物体运动一段时间t到B物体离开地面的整个过程中，弹簧由压缩量x1变为伸长量x2。加力F前对A有kx1=mg；当B离地有kx2=mg；由图乙知x1+x2=0.3 m；解得m=12 kg，x1=x2=0.15 m。

(2)由题知B离地前A做匀加速运动，有

对A由牛顿第二定律得

F1+kx1-mg=ma；F2-kx2-mg=ma。

解以上几式得t=0.4 s。

【点评】同一弹簧在压缩与伸长的形变量相同时，弹簧的弹力大小相等、方向相反，弹性势能相同，这是弹簧对称性的表现。在弹簧由压缩到伸长相同的形变量的过程中，弹簧弹力做的总功为零。根据弹簧的这一对称性特点，为用动能定理、能量守恒定律来定量分析弹簧的功能问题带来了可能，体现了弹簧问题的特殊性。

【小结】由于目前高考中全国卷考纲不要求利用弹性势能的表达式进行定量计算弹性势能的大小，因此有关弹簧弹性势能的定量计算可用以下两种方法：(1)通过弹力做功求弹性势能大小。由于弹力大小F随弹簧的形变量x是线性变化关系，可求这种变力的平均值(即为算术平均值)，由功的公式求其做的功，或利用F-x线性图象中的“面积”求变化的弹力做功，或用“微元法”来计算变化的弹力做功，再根据弹力做功与弹性势能的变化关系来确定弹性势能的大小；(2)根据动能定理、能量转化和守恒定律求弹性势能的大小，在一些特殊情况下可充分利用弹簧的对称性来分析问题。

三、弹簧类的探究性实验

图7

【例5】(2019年广州模拟)如图7所示为某同学做“探究弹力和弹簧伸长量关系”时实验的装置，让刻度尺零刻线与弹簧上端平齐，弹簧不挂物体时下端指针所指的刻度为x0，在弹簧下用足够长的轻质细线挂上4个相同的钩码(弹簧处于弹性限度内)，静止置于烧杯T内，控制阀门S通过细胶管向烧杯中缓慢注水，依次浸没4个钩码，记录每浸没一个钩码时指针所指的刻度x1、x2、x3、x4，已知每个钩码质量为m，重力加速度为g，以xn为纵坐标，n为横坐标建立坐标系，作出xn和浸没钩码个数n的关系图线，求得图线斜率为a，纵截距为b，则该弹簧的劲度系数为________，每个钩码所受浮力为________。(均用a、b、m、g和x0表示)

图8

【例6】(改编)某同学利用如图8 所示装置来验证机械能守恒定律，并测量弹簧的劲度系数。A、B是由轻弹簧相连的质量均为m的两小物块，C是质量为M的重物，A、C间由轻质细绳相连。在物块B下放置一压力传感器，重物C下放置一速度传感器，压力传感器与速度传感器相连。整个实验中弹簧均处于弹性限度内，重力加速度大小为g。实验操作如下：

a.开始时，系统在一外力作用下保持静止，细绳拉直但张力为零。现释放C，使其向下运动，当压力传感器示数为零时，速度传感器测出C的速度为v。

b.在实验中保持A、B质量不变，改变C的质量M，多次重复步骤a。

回答下列问题：

(1)为便于研究速度v与质量M的关系，每次测C的速度时，C已下降的高度应________(填“相同”或“不同”)。

(3)根据(2)中的图线，若图线在纵轴上的截距为b，则弹簧的劲度系数为________(用题给的已知量表示)。

【点评】本实验验证物块A、重物C及弹簧系统的机械能守恒，并测量弹簧的劲度系数，巧妙地利用了初末状态下弹簧的弹性势能相同。作线性图象处理实验数据，是实验数据处理的一种常见的方法。