浅析电磁感应中“导体棒+电容”问题

湖北

在电磁感应方面的试题研究中，存在电容器和导体棒相结合的问题。“导体棒+电容器”类型题中电容器充放电的动态问题对学生思维考查较为全面，涉及的知识内容较多，如导体棒等效电源，电磁感应中的动力学、动量定理，电量计算等，一般以计算题形式出现，电容器充放电结合动量定理类的问题日趋增多，是近年高考命题热点的方向之一。如：2017年天津卷和2018年11月浙江卷等。笔者对这类问题进行了梳理，归纳为以下几种考查类型。

类型一 给定初速度的“导体棒+电容器”模型

【原题】一空间存在竖直向下磁感应强度为B的匀强磁场，水平光滑导轨上放置一长度为L的导体棒，现给导体棒一个向右的初速度v0，导轨左端连接一电容为C的电容器，试分析导体棒的运动形式，求出导体棒最终速度。

【点评】本题的解题关键在于寻找电容的充电电量与流过导体棒电量之间的关系，由于电容器初始状态不带电，故有多少电量流过导体棒电容器就充了多少电量。对导体棒中的电流变化，需根据回路总电动势的变化来分析。此题中，导体棒减速运动，动生电动势减小，而电容器电压提高，二者达到平衡时回路将没有电流，即导体棒匀速运动。

【训练1】如图所示的甲、乙、丙图中，MN、PQ是固定在同一水平面内足够长的平行金属导轨。导体棒ab垂直放在导轨上，导轨处于垂直水平面向下的匀强磁场中。导体棒和导轨间的摩擦不计，导体棒、导轨和直流电源的电阻均可忽略，甲图中的电容器原来不带电。现给导体棒ab一个向右的初速度v0，甲、乙、丙图中导体棒ab在磁场中最终的运动状态是

( )

甲

乙

丙

A.甲、丙中，棒ab最终将以相同的速度做匀速运动；乙中ab棒最终静止

B.甲、丙中，棒ab最终将以不同速度做匀速运动；乙中ab棒最终静止

C.甲、乙、丙中，棒ab最终均做匀速运动

D.甲、乙、丙中，棒ab最终都静止

【点评】此题的设计中出现了三种组合，甲图为“导体棒+电容器”，乙图为“导体棒+电阻”，丙图为“导体棒+电源”，考查学生在导体棒运动中对动力学问题的分析能力，要求学生能根据电源、电容和电阻的不同特点，对动生电动势变化引起的电流、安培力、加速度、速度等动态变化进行有逻辑地分析推理。

类型二 给定恒定外力驱动下的“导体棒+电容器模型”

【原题】如图所示，一空间存在竖直向下磁感应强度为B的匀强磁场，水平光滑导轨上放置一长度为L的导体棒，左端连接一电容为C的电容器，现给导体棒一个水平向右的恒力F，使导体棒从静止开始运动。试分析导体棒的运动形式，是否存在最终速度？如果有，求出该速度。(设电容器的电容值很大，不考虑击穿情况)

【点评】此问题看起来好像是上一类型的变式题，其实两类型差异很大。类型一中的导体棒加速度逐渐减小最终匀速运动，而类型二通过选取极短时间Δt，利用极限法推出导体棒做匀加速直线运动，电容器的充电电流保持恒定，当然安培力也是不变的。

【训练2】如图所示，平行金属框架竖直放置在绝缘地面上，框架上端接有一电容为C的电容器，框架上一质量为m的金属棒平行于地面放置，其有效长度为L，离地面的高度为h，磁感应强度为B的匀强磁场与框架平面垂直。现将金属棒由静止开始释放，金属棒下滑过程中与框架接触良好且无摩擦，开始时电容器不带电，不计各处电阻，求金属棒落地时的速度和金属棒从静止释放到落至地面的时间。

【点评】此题是在重力驱动下的问题，导体棒做匀加速直线运动，此类题型有多种变式，如：倾斜导轨，导轨与导体棒间有摩擦等，详见2013年全国卷压轴题。

类型三 电容器先充后放驱动导体棒运动类型

【原题】一空间存在竖直向下磁感应强度为B的匀强磁场，水平光滑导轨上放置一长度为L的导体棒，左端连接一电容为C的电容器，电容器通过单刀双掷开关先与电源(电动势为E)相连，稳定后再接通右边导轨，试分析导体棒的运动形式，判断导体棒是否存在最终速度，如果有，求出该速度。

【点评】电容器先充后放，关键是要弄清楚电量的变化量。区分清楚电容器初态电量、末态电量及流过导体棒电量之间的关系。电量是解决动量定理中的安培力冲量和电容器充放电的桥梁。

【训练3】(2017年天津卷)电磁轨道炮利用电流和磁场的作用使炮弹获得超高速度，其原理可用来研制新武器和航天运载器。电磁轨道炮示意如图，图中直流电源电动势为E，电容器的电容为C。两根固定于水平面内的光滑平行金属导轨间距为l，电阻不计。炮弹可视为一质量为m、电阻为R的金属棒MN，垂直放在两导轨间处于静止状态，并与导轨良好接触。首先开关S接1，使电容器完全充电。然后将S接至2，导轨间存在垂直于导轨平面、磁感应强度大小为B的匀强磁场(图中未画出)，MN开始向右加速运动。当MN上的感应电动势与电容器两极板间的电压相等时，回路中电流为零，MN达到最大速度，之后离开导轨。问：

(1)磁场的方向；

(2)MN刚开始运动时加速度a的大小；

(3)MN离开导轨后电容器上剩余的电荷量Q是多少。

【解析】(1)电容器充完电后，上板带正电，下板带负电，通过导体棒放电的电流为M到N，要让炮弹向右加速发射，由左手定则可知，磁场的方向垂直于导轨平面向下。

【点评】本题恰恰是类型三的直接应用，在题干中“当MN上的感应电动势与电容器两极板间的电压相等时，回路中电流为零，MN达到最大速度”对学生在处理电容器充放电动态过程有很大的启示作用。