关于两根导体棒切割磁感线问题的变式研究
——以2023年高考湖南卷物理第14题为例

2023-12-07 06:02张伟

教学考试(高考物理) 2023年5期

张伟

(河北省沧州市第十中学)

一、原题呈现

(2023·湖南卷·14)如图1,两根足够长的光滑金属直导轨平行放置,导轨间距为L,两导轨及其所构成的平面均与水平面成θ角,整个装置处于垂直于导轨平面斜向上的匀强磁场中,磁感应强度大小为B。现将质量均为m的金属棒a、b垂直导轨放置,每根金属棒接入导轨之间的电阻均为R。运动过程中金属棒与导轨始终垂直且接触良好,金属棒始终未滑出导轨,导轨电阻忽略不计,重力加速度为g。

图1

(1)先保持棒b静止,将棒a由静止释放,求棒a匀速运动时的速度大小v0;

(2)在(1)问中,当棒a匀速运动时,再将棒b由静止释放,求释放瞬间棒b的加速度大小a0;

(3)在(2)问中,从棒b释放瞬间开始计时,经过时间t0,两棒恰好达到相同的速度v,求速度v的大小以及时间t0内棒a相对于棒b运动的距离Δx。

二、试题解析

(1)当把棒a由静止释放将做加速度逐渐减小的加速运动,切割磁感线产生感应电动势E=BLv0

棒a受到安培力Fa=BIL

当其所受安培力与其所受重力沿斜面向下的分力相等时将做匀速运动,有Fa=mgsinθ

(2)先根据右手定则判断出感应电流方向,再根据左手定则可判断出棒b所受安培力Fb沿斜面向下,根据安培力公式可知Fb=Fa=mgsinθ

棒b所受合外力F合=Fb+mgsinθ

(3)针对棒a与棒b组成的系统应用动量定理有2mgsinθΔt=2mv-mv0①

针对棒a应用动量定理有

本题突出高中物理主干知识,突出高中物理基本物理模型的建构,注重科学思维素养。导体棒切割磁感线类问题是电磁感应和力学的综合问题,既要用到电磁学中的楞次定律、法拉第电磁感应定律、左手定则与右手定则、安培力与电功率公式,也要用到力学中的运动学公式、受力分析的方法、牛顿运动定律、动能定理或者功能关系以及动量定理或者动量守恒定律,几乎涵盖了高中物理的所有重点主干知识。

三、变式拓展

从一道高考典型例题的剖析及一题多变,动态演示出题中蕴含的方法及规律,从而去指导解决同一类问题中的全方位变式题目,打造全方位立体化网络体系。

对金属棒a运动过程中蕴含的规律可进行动态演示:

在此基础上可加以变化,以形成发散思维,进行全方位变式,打造立体网络体系。

【变式拓展1】如图1,两根足够长的光滑金属直导轨平行放置,导轨间距为L=0.5 m,两导轨及其所构成的平面均与水平面成θ=30°角,整个装置处于垂直于导轨平面斜向上的匀强磁场中,磁感应强度大小为B=0.4 T。现将金属棒a、b垂直导轨放置,金属棒a质量为ma=0.1 kg,金属棒b质量mb=0.2 kg,每根金属棒接入导轨之间的电阻均为R=0.1 Ω。当金属棒b在外力作用下,以速度v1=1.5 m/s沿导轨向上始终做匀速运动时,金属棒a由静止释放,运动过程中金属棒与导轨始终垂直且接触良好,金属棒始终未滑出导轨,导轨电阻忽略不计,重力加速度为g=10 m/s2。

求:闭合回路中的最大电流可达多大,此时金属棒a的速度多大,此时金属棒b所受外力多大。

【思路要点】双金属棒在导轨上滑动时,要特别注意双棒切割磁感线产生的感应电动势是正接还是反接,从而确定感应电流的方向,此题关键是判断金属棒a初始状态受力情况,从而判断其运动情况,是静止还是运动,如果运动,向什么方向运动?

解：刚释放金属棒a时,金属棒b切割磁感线产生的感应电动势E1=BLv1

此时金属棒a所受安培力F1=BI1L

将已知数据代入以上各式计算可得F1=0.3 N

而金属棒a所受重力沿斜面向下的分力为

magsinθ=0.5 N

因为F1

金属棒a切割磁感线产生的感应电动势E2=BLv2

根据右手定则可判断出,E1与E2相当于正接,

此时金属棒a所受安培力F2=BI2L

当金属棒a所受安培力与所受重力沿斜面向下的分力相等时

即F2=BI2L=magsinθ

金属棒a做匀速运动,此时其速度达到最大,相应感应电动势和感应电流达到最大。

代入已知数据可解得I2=2.5 A,v2=1 m/s

此时金属棒b所受外力F外=(ma+mb)gsinθ=1.5 N

【变式拓展2】如图2所示,两根足够长的光滑金属直导轨平行放置,导轨间距为L,两导轨由两个倾斜部分和水平部分组成,水平部分足够长,其中水平部分置于竖直向下的匀强磁场中,磁感应强度为B。现将金属棒a、b垂直导轨放置,金属棒a质量为ma=2m,金属棒b质量为mb=m,每根金属棒接入导轨之间的电阻均为R,将两金属棒同时从两侧高h处静止释放,运动过程中金属棒与导轨始终垂直且接触良好,金属棒始终未滑出导轨,导轨电阻忽略不计,重力加速度为g。求:从两金属棒从释放到二者均第一次达到匀速运动状态时,系统释放的热量是多少。

图2

解：将两金属棒同时从静止释放将同时滑到低端,设此时速度大小为v1

之后两金属棒均做变减速运动,b先减速为零,最终两金属棒达到共速,设此时速度为v2,在水平轨道上对于两金属棒组成的系统所受外力之合为零,以向左为正方向

根据动量守恒定律可得

2mv1-mv1=(2m+m)v2

【变式拓展3】如图3所示,两根足够长的光滑金属导轨平行放置,导轨间距为L,两导轨由倾斜部分和水平部分组成,倾斜部分与水平面成θ角,θ=30°,水平部分和倾斜部分都存在方向垂直于导轨平面向上的匀强磁场,磁感应强度的大小均为B,现将金属棒a、b垂直导轨放置,它们的质量分别为2m和m,电阻分别为2R和R。某时刻开始,将金属棒a、b同时由静止释放,水平导轨和倾斜导轨都足够长,在运动过程中金属棒b始终在水平轨道上运动,已知回路中的电流刚达到稳定状态时,金属棒b的速度为v0,mgR=B2l2v0,导轨电阻不计,金属棒与导轨始终保持垂直且接触良好,不计一切摩擦,重力加速度为g。