由一道以蒙日圆为背景的题目引发的思考

福建

1 题目

(1)求椭圆C的方程；

(2)设动直线l与椭圆C有且仅有一个公共点，且l与圆x2+y2=3相交于不在坐标轴上的两点P1,P2，求证：kOP1·kOP2为定值.

1.1思路点拨：(1)略；

(2)直线与圆锥曲线相交、相切问题，通常是设直线方程(注意讨论斜率是否存在)，并把它与圆锥曲线方程联立，根据判别式、韦达定理寻求关系，进而达到解题的目的.

1.2简要解析：

当直线l的斜率存在时，设l的方程为y=kx+m，

2 探究一般性结论

当直线l的斜率存在时，设l的方程为y=kx+m，

因为直线l与椭圆C有且仅有一个公共点，所以Δ=(2kma2)2-4(b2+a2k2)(a2m2-a2b2)=0，

即m2=a2k2+b2，

把m2=a2k2+b2带入上式得

2.2一般性结论

3 探究命题背景

3.1蒙日圆概念

在椭圆中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆中心，半径等于长、短半轴平方和的算术平方根，这个圆就是蒙日圆.用符号语言表示为:

3.2两个引理

4 结论再推广

结论3：若动直线l与圆x2+y2=a2(a>0)有且仅有一个公共点，且l与圆x2+y2=2a2相交于不在坐标轴上的两点P1,P2，则kOP1·kOP2=-1.

为了体现数学的统一美与和谐美，可把上述三个结论归结为：

说明：用换元法，在结论1中，用-b2替换b2，即可得到结论2；用a2替换b2，即可得到结论3.具体的证明过程，请读者参照定理1自行推理论证.

5 试题再探究

5.1逆向结论

事实上，这三个结论的逆命题也是成立的，请读者自行证明.

逆向结论3：若动直线l与圆x2+y2=2a2(a>0)相交于不在坐标轴上的两点P1,P2，且kOP1·kOP2=-1，则l与圆x2+y2=a2有且仅有一个公共点.

5.2探究定值问题

在逆向结论1原有条件的基础上，设OP1，OP2分别与椭圆交于点E、F.

5.2.1求证：△OEF的面积为定值.

思路点拨：先设出EF的直线方程，并与椭圆方程联立，用韦达定理表示出xE+xF以及xE·xF，再用弦长公式表示出EF，用点到线的距离公式表示出高，即可求得面积.

5.2.2求证：OE2+OF2为定值.

5.2.3求证：椭圆上存在一点M，使得以M为圆心的圆与直线OE、OF都相切.