探究一道简单高考题的丰富内涵

李昌成

摘要：有些题目表面上看起来平淡无奇，实际上却有丰富的内涵.对于这种问题，我们可以研究其最优解法，讨论其纯粹性、完备性，拓展得到更一般的结论或相关结论，寻找其与从前高考题目的关联性，探索其源题目.

关键词：高考题;一题多解;合理猜想;发散思维

每一道高考题都深入考查了某一知识领域或某几个知识领域，凝聚着命题专家的智慧，有些题目表面上看起来平淡无奇，实际上却有丰富的内涵.之所以如此，是因为我们没有领悟到专家的良苦用心.比如，是否找到了最优解法？是否弄明白了问题的纯粹性、完备性？是否可以拓展得到更一般的结论或相关结论？是否发现本题与从前高考题目的关联性？是否发现本题與教材题目的关联性？下面来研究一道看似简单的高考题，体会高考题的博大精深.

1 原题呈现一题多解

题目 （2017年全国高考数学Ⅲ卷理科第20题）已知抛物线C：y²=2x，过点（2，0）的直线交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆.

（1）证明：坐标原点O在圆M上;

（2）略.

分析 本题以直线与抛物线相交为背景，考查学生关于解析几何的基本技能和技巧.只要学生有一定基础都能较好地完成，难度较小.但它却蕴含着丰富的教学素材，可以作为一个典型例题，全面提升学生的能力.

解法1 由于直线Z的斜率可能存在，也可能不存在，因此必须分类讨论，分别完成证明.不失一般性，设点A在第一象限，点B在第四象限.

当直线l的斜率不存在时，其方程为x=2，A（2，2），B（2，-2），OA：（2，2），OB：（2，-2），OA，OB=4 -4 =0：

当直L的斜率存在时，设其斜率为K，则其方程为y=五（x-2）.

以上解法都是圆锥曲线的基本处理办法，也是教学大纲、考试大纲基本要求，作为基本功，我们不可忽视.有没有更好的处理方式呢？答案是肯定的！

当直线的斜率和截距存在时，直线方程一般设为y=KX+b.当直线的斜率不确定，但横截距已知时，如何设直线方程呢？我们运用类比的思想，可以设直线方程为x=ty +a，这样往往可避开讨论和减少运算.因为t=0时它表示的直线无斜率，t≠0时它可以化成斜截式.至于这种设法能否减少计算量，只有对比才知道.下面验证一下这种设法是否可行.

3 发散思维硕果累累

不难发现，以上两结论与抛物线的通径长2p密切相关，而焦点也是抛物线的重要组成部分，因此过焦点的弦也应该有一些重要性质，

4 结束语

本题其实是由教材上一道习题改装而得，仿佛有点简单，但实际上蕴含了很多知识，考查了很多技能.比如直线方程的形式就有好几种，不难发现直线形式不同导致后续的运算也有繁有简.猜想是推动数学发展的重要途径，猜想也使问题更加深入而丰富，正如波利亚所言“解数学题就像采蘑菇一样，当我们发现一个蘑菇时，在它周围可能有一个蘑菇圈”.因此教学的路途上风景无限好，只要大胆猜想，精心雕琢，严谨证明，就一定能品出数学的迷人芳香.