全概率公式与贝叶斯公式的启发式教学设计浅谈

陈中明

摘要：全概率公式和贝叶斯公式是概率论中的两个重要公式，也是教学中的重点和难点。本文运用启发式教学方法，分别从公式的引入、理解及应用三个方面对全概率公式和贝叶斯公式的教学设计进行了探讨，结合案例引导学生熟悉掌握全概率公式和贝叶斯公式。

关键词：全概率公式；贝叶斯公式；启发式教学；教学设计

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2019）25-0202-02

一、前言

全概率公式与贝叶斯公式是概率论课程中的两个重要公式，这部分内容是条件概率知识的进一步扩展和延伸，研究如何从已知简单事件的概率推算出未知复杂事件的概率。全概率公式和贝叶斯公式在模型预测、可靠性评估、产品检测、机器学习等领域有着广泛的应用。由于公式较复杂，难于记忆，更因其在实际生活的应用广泛而成为概率论课程教学中的一个重点和难点问题。在实际教学中，学生常常只是硬背公式，却不知道怎么用。结合实际教学经验，本文就全概率公式和贝叶斯公式的教学设计给出了新的尝试，运用启发式教学法，引导学生理解公式背后的含义，并结合有趣的例子以调动学生的兴趣和提高解决实际问题的能力。

二、引例

课堂引入阶段，运用启发式教学法，结合学生熟悉的挂科问题，激发学习兴趣，通过实例简单分析全概率公式和贝叶斯公式的实质，形成对新公式的直观性理解。

例1：根据以往某门课程的考试结果分析，努力学习的学生有90%的可能考试及格，不努力的学生有90%的考试不及格。据调查，学生中有80%的人是努力学习的。问1：随机选一名学生，其考试及格的可能性多大？问2：若某同学考试及格，其有多大可能是学习努力的？

分析：设A表示学习努力，表示学习不努力，B表示考试及格，表示考试不及格，依题意有P（B|A）=

0.9，P（|）=0.9，P（A）=0.8，求P（B）和P（A|B）。为求

P（B），我们可以先把考试及格的学生分成两类：一类是学习努力的学生，一类是学习不努力的学生，然后分别计算在两种情况下考试及格的概率，即P（B）=

P（B|A）P（A）+P（B|）P（）=0.9×0.8+0.1×0.2=0.74。其中，P（B|）=1-P（|）=0.1，P（）=1-P（A）=0.2。考虑

P（A|B）时，实际上是一个反向思考的过程，即我们已知考试结果来推断产生结果的原因。这里可以直接运用条件概率公式和乘法公式，有P（A|B）====0.973。

该例题简单明了，学生易于接受，推导过程也不复杂，大部分学生是可以理解的，同时也符合学生的直觉，即：只有努力学习才有可能考试及格。在求解例1的过程中，第一问是从因素出发，求出最后结果发生的概率，而第二问是在已知结果的情况下来分析产生的原因。由此，便自然诱导出要学习的全概率公式和贝叶斯公式了。

三、相关概念及思想

公式阐述阶段，结合前面的例子引入公式基本概念，通过类比分析理解，促进严谨思维习惯和逻辑推理能力。

1.样本空间的划分。设S为试验E的样本空间，B，B，…，B为E的一组事件。若：（1）BB=？覫，i≠j，i，j=1，

2，…，n；（2）B∪B∪…∪B=S，则称B，B，…，B为样本空间S的一个划分。在前面的例子中，我们把整个样本空间S按照学习是否努力做了划分，即S=A∪。

2.全概率公式和贝叶斯公式。有了划分概念，再结合乘积公式和条件概率公式就可以推导出全概率公式和贝叶斯公式了。

定理1：（全概率公式）设试验E的样本空间为S，A为E的事件，B，B，…，B是樣本空间S的一个分割，且P（B）>0（i=1，2，…，n），则P（A）=∑P（A|B）P（B）。

定理2：（贝叶斯公式）设试验E的样本空间为S，A为E的事件，B，B，…，B是样本空间S的一个划分，

P（A）>0，P（B）>0（i=1，2，…，n），则P（B|A）=。

3.对全概率公式和贝叶斯公式的理解。全概率公式和贝叶斯公式均可用来求解复杂事件的概率，两个公式也体现了两种不同的思维方式。全概率公式实际上是一个“由因推果”的过程，运用的是化整为零、分类讨论的思想，通过将一个复杂事件的概率计算问题分解为若干个简单事件的概率计算问题，最后应用概率的可加性求出最终结果。贝叶斯公式是一个“执果寻因”的过程，分析每个原因对结果所做的贡献，相应的条件概率即为该原因对结果所做贡献的比例。全概率公式和贝叶斯公式的含义以及两者之间的联系可由下图表示。

四、应用实例

在实践教学阶段，全概率公式和贝叶斯公式在生活中有着广泛的应用，可以选取一些贴近生活的例题，让学生有兴趣思考，从而运用所学的知识解决问题。这里以伊索寓言中“狼来了”的故事为例。

例2：一个小孩每天到山上放羊，山上有狼出没。一天，他在山上喊“狼来了、狼来了”，山下的村民闻声去打狼，到了山上，发现狼并没有来；第二天仍是如此，第三天，狼真的来了，可任凭牧羊的孩子怎么喊叫，也没有人去救他，因为前两次他撒了谎，村民们不再相信他。问：如何用概率知识解释故事背后的道理？

分析：事件A：“小孩说谎”；事件B：“小孩可信”。假设村民起初对小孩的信任度P（B）=0.8，可信的孩子说谎的可能性P（A|B）=0.1，不可信的孩子说谎的可能性P（A|）=0.5。

第一次小孩说谎后，村民对小孩的信任度变为：

P（B|A）===0.444。

这表明村民上一次当以后对小孩的信任程度由原来的0.8降到0.444。

在此基础上，依然用贝叶斯公式计算小孩第二次说谎后村民对他的信任度：

P（B|A）===0.138。

五、结语

采用启发式教学法，以学生熟悉的课堂生活为故事情境，引入全概率公式和贝叶斯公式，激发学生的学习兴趣，在解决问题的同时提炼了学习重点，体现了知识源于实践的特点。用形象、生动的语言来解释公式的内涵，可以加强学生对知识的理解和掌握。知识性和趣味性的结合，有助于提高教学效果。

参考文献：

[1]盛骤，谢式千，潘承毅.概率论与数理统计 [M].第四版.北京：高等教育出版，2008.

[2]徐彬.关于贝叶斯公式的教学设计与实践[J].科教导刊（上旬刊），2016，（05）：51-52.

[3]刘新乐，刘小琼.浅谈如何更好地讲解全概率公式和贝叶斯公式[J].课程教育研究，2016，（01）：140.