挖掘一道高考题的应用价值

刘华光

对一些经典的高考题，如果能用变化的观点加以探究，往往能揭示出题目“背后的故事”，从而为解决数学问题开辟新的绿色通道.

例题 （2007年高考陕西理科卷第5题）各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn=2，S3n=14，则S4n等于

A. 16            B. 26              C. 30               D. 80

分析 初见此题，学生一般容易被题目中三个量的下标所迷惑，导致思路受阻.

由已知条件可得 =2，①

=14.②

但是由这两个方程求不出a1，q和n，则由S4n= 无法得到答案.

如果用变化的视角观察①和②，那么就会发现它们有一个共同的因式 ，将此式消去，自然问题得解.

解 由已知有q≠1，则由 = ，且 ≠0，可得7（1-qn）=1-q3n，整理得（qn）3-7qn+6=0.③

解得qn=2，qn=1（舍去），qn=-3（舍去）.所以S4n= = （1-q4n）= （1-24）=30.选C.

小结 求解三次方程③，需要用到因式分解以及立方差公式等解题基本功.在得到qn=2之后，由①式得 = 是一种合理的转化 ，既绕过了求a1所带来的麻烦，又体现了数学解题的本质.

这道经典的高考题还有多种各具特色的解法，都已经成了“昨天的故事”，在这里我们更关注的是题目的内涵价值.从结果来看，S4n=30与n无关，这说明当题目中的三个量的下标中的n依次取值1，2，3，…时，并不影响题目的求解与结果.注意到三个量的下标之间有着一种微妙的等量关系：n+3n=4n，由此联系到题目中的三个量之间是否也存在着某种等量关系呢？经过探究，得到下面的结论.

结论 已知{an}为等比数列，Sm，Sn分别为其前m项，前n项的和，若m>n，则有Sm=Sn+Sm-n qn=Sm-n+Snqm-n.

证明 当q=1时，结论显然成立.

当q≠1时，由等比数列的前n项和公式，可得Sm-Sn= - = = ·qn=Sm-n qn，Sm-Sm-n = - = = ·qm-n=Snqm-n，整理后可知结论成立.

综上可知，结论成立.

小结 此结论反映了等比数列前n项和Sn的下标在变化过程中，满足和相等或差相等关系时所具有的等量关系式.它是等比数列前n项和公式的深化，对解决等比数列前n项和的有关问题具有重要的应用价值.

应用1 已知Sn，Sm，Sk中某两项的值，求另一项值的问题

例1 设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S100 =200，S200 =300，则S300 =

A.400               B.350               C.300               D.100

解 设等比数列{an}的公比为q，由结论可得S300 =S100+S200q100=S200 +S100 q200，200+300q100=300+200q200，解得q100= 或q100=1（舍去）.所以S300 =200+300× =350.选B.

小结 如果由已知条件进行瞎猜，那么容易掉进选项A的陷阱中.

例2 设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S50 =4，S150 =8，则S350=

A.12       B.28+8        C.28-8        D.40

解 设等比数列{an}的公比为q.由结论可得S200=S50 +S150 q50=S150 +S50  q150，则4+8q50=8+4q150，解得q50= ，q50=1（舍去），q50=- （舍去）.所以S200=4+8× =4 ，则S350=S150 +S200q150=28-8 .选C.

小结 在求等比数列前n项和的问题中，此类题型比较常见.如果k=m+n，那么就可以直接由结论求解;如果k>m+n，那么可以先利用结论求出Sm+n，然后看2m+n或m+2n是否与k相等，如果相等，即可再一次利用结论求解，直到得到结果.

应用2 Sm和Sn的倍数或者商的关系与公比q的求值问题

例3 一个各项均为正数的等比数列，它的前200项之和为前100项之和的10倍，则此数列的公比为______.

解 设此数列的公比为q，由已知条件可知S200=10S100 ，则由结论可得S200=S100 +S100 q100=10S100 ，解得q= .

小结 一般地，一个各项均为正数的等比数列，如果它的前2n项之和为前n项之和的m倍，则此数列的公比为 .

例4 已知等比数列{an}的公比q=2，前n项和为Sn，则 =______.

解 由结论可得S11=S4+S7·24=S7+S4·27，整理可得15S7=127S4，即 = .

小结 此题如果由S7=S3+S4·23=S4+S3·24往下做，也可以求解，但要复杂一些.

应用3 分子、分母是Sm与Sn的和或差的分式及公比q的求值问题

例5 已知Sn為等比数列{an}的前n项和，且 = ，则q=______.

解 由结论可得S5-S1=S4q，S9-S5=S4q5，则 = = ，解得q=2或q=-2.

小结 由结论可将此题推广为：已知等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为q，如果n-p=m-k，那么 =qp-k.

应用4 分子与分母都是若干项的和的分式的求值问题

例6 已知{an}为等比数列，且 = ，则 =

A.                   B.                   C.                   D.

解 由 = = = ，可得q=3.由结论可得S4-S1=S3q=3S3，S7-S4=S3q4=81S3，所以 = = .选C.

小结 像这类题型，用一般方法去解，思路比较僵化，过程也很复杂，但用结论处理，却思路清晰，过程简捷，既能提高解题速度，又能避免复杂运算可能出现的错误.

应用5 项与和的最值问题

例7 设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S4≥10，S5≤15，则a5的最大值为______.

解 由结论及已知条件可得a5=a1q4=S1q4=S5-S4≤15-10=5，所以a5的最大值为5.

小结 一般地，设等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn≥a，Sm≤b，则当n>m时，Sn-mqm的最小值为a -b;当n