落实“问题导学”五环节，培养学生数学核心素养

栾功

[摘   要]新一轮的课程改革明确指出“课堂教学要融入学科核心素养的培养”.“问题导学”教学法为落实数学核心素养的培养提供了理论依据和操作方法.基于“问题导学”法，以《空间向量的应用——距离的计算》为例，着重落实“问题导学”五环节的教学设计，从而培养学生的数学核心素养.

[关键词]问题导学;核心素养;空间向量

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2019）17-0038-02

2018年12月，在广西桂林市举办了第九届高中青年数学教师优质课展示活动.这次活动中，章建跃博士指出：“要以新课标研读为核心，加强学习，领会新一轮课改的精神，明确课改方向，掌握培养学生数学核心素养的方法策略，努力使数学核心素养的培养融入日常教学中.”笔者有幸代表广西参加了组委会指定课题《空间向量的应用——距离的计算》的优质课展示.笔者基于“问题导学”的教学设计得到了评委和学术委员会的高度评价，“问题导学”教学法为落实数学核心素养的培养提供了理论依据和操作方法.

《空间向量的应用——距离的计算》是学生在学习了空间向量及其运算，并应用向量的方法解决有关空间位置关系和夹角问题后，所进一步学习的立体几何中的向量方法，它是前面内容的延展与深化，进一步渗透了数形结合思想，很好地阐释了中学数学“数量关系→空间形式→数形结合”的学习主线.本课蕴含了丰富的数学价值和思想方法，能很好地培养学生的直观想象、数学运算、逻辑推理等核心素养.本节课，笔者采用“问题导学”教学法，让学生尽快地进入情境，主动参与提出问题和探索问题的过程，通过问题驱动、自主探索、合作交流形成概念，并逐步深化概念.以下是本节课“问题导学”五环节的教学设计.

一、新课引入

问题1：观察加油站的设计图，你能提出哪些距离问题？

新课引入是学生对一节新授课的第一印象，引入应力求自然合理，同时让学生对新知识感到好奇，产生强烈的探索欲望.本课中，笔者通过学生熟悉的加油站这一具体实例引入抽象的距离问题，调动学生学习数学的积极性，在引出课题的同时培养了学生直观想象和数学抽象等核心素养.

二、概念形成

“概念形成”是这节课的重点，它对学生构建自身的认知结构起关键作用.这一环节的主要任务是让学生理解概念形成的合理性，理解知识发生发展的过程.为了让这个过程更简洁地呈现给学生，笔者设置了问题2和问题3.

问题2：设直线[l]是过点[P]平行于向量S的直线，[A]是直线外一定点，请尝试用向量的运算求解点[A]到直线[l]的距离.

问题3：类比点到直线距离的向量求法，求解平面[α]外一点[P]到平面[α]的距离.

在这一环节中，教师不能急于讲述公式，应引导学生思考怎么赋予几何条件向量的意义，如何用向量的运算求解距离，为什么要把距离问题转化为向量的运算.这个过程要展示知识的生成、发展过程，暴露学生的思维过程.于是，笔者设置了第一个任务“结合你的课前研究进行小组交流分享”，学生在交流的过程中提出了很多种想法，有给直线作垂线的，也有用正弦值计算的.这些思考都符合学生的实际.在小组交流的过程中，学生最终达成共识：刻画直线还是用方向向量最为方便，用向量的投影计算距离更为便捷.以下是学生的讨论和展示.

生1：作直线的法向量，利用投影可计算.

生2：对直线而言，方向向量更为简洁，可用方向向量解决问题.

师：若用方向向量解决问题，直线[l]上的点[P]可以移动吗？方向向量的方向会影响结果吗？

生3：点[P]的选择是任意的，无论点[P]在哪里选取，按照向量的运算结果，距离都是唯一的，把几何问题转化为代数运算，可以更好地解决一些复杂的几何问题.

有了解决问题2的基础，学生很容易类比模仿问题2的方法解决问题3，学生在解决相似问题的过程中感悟数学的通性通法，体会其中的数学思想方法.

教师可让学生经历数学知识的发生发展过程，给学生提供探索、概括的机会，让学生感知用向量求解距离问题合情合理，并通过“自主探索——小组交流——分享展示”等数学活动来培养学生的逻辑推理、数学运算等素养，提升学生的归纳、概括与交流能力.

三、概念深化

问题4：用向量法求解距离问题时主要有哪几个要素？本质是什么？

问题5：用几何法和向量法分别求解正方体[ABCD-A1B1C1D1]（图1）中的各个距离：

（1）点[M]到平面[ACD1]的距离;（2）点[C]到平面[AMD1]的距离;（3）点[C1]到平面[AND1]的距离.

概念深化是这节课的又一个重点，也是一节新授课的灵魂，它直接影响学生能否以更高的观点去看待问题的思维品质的形成。以往在这一环节的教學中，教师都是在讲完公式后直接给出题目让学生练习公式的应用.这样处理，没有发挥教材的作用.为了探寻点线、点面距离的向量计算方法的本质，笔者设置了问题4和问题5，引导学生挖掘概念的内涵与外延，一起总结归纳向量计算方法的要素，突出概念的本质特征.这对学生来说是一种更高层次的思维训练，对学生数学核心素养的培养起到助推的作用.

四、应用探索

“应用探索”这一环节的主要任务是例题的讲解、拓展和探究，这是数学中强化新知学习、展示数学思想方法、培养学生能力的重要载体.对此，笔者分层设置了两个例题.

[例1]如图2， 四棱柱[ABCD-A1B1C1D1]的底面[ABCD]是正方形，[O]为底面中心，[A1O]⊥平面[ABCD]，AB=AA1=[2].

（1）求点[A]到直线[OB1]的距离;（2）求点[D]到平面[OCB1]的距离.

[例2]如图3，正方体[ABCD-A1B1C1D1]的棱长为1，[M]、[N]分别是[BB1]、[B1C1]的中点.

（1）求直线[MN]到平面[ACD1]的距离;

（2）若[G]是[A1B1]的中点，求平面[MNG]与平面[ACD1]的距离.

例1主要考查学生能否运用向量法解决点线距离、点面距离，体会向量法的优点，进一步巩固向量法求解距离问题的一般思考程序;例2在学生熟悉的正方体中考查了线面距离、面面距离，要求学生能灵活运用向量法，把复杂陌生的问题转化为简单熟悉的问题，进而达到培养学生直观想象、数学运算、逻辑推理等数学核心素养的目的.

五、总结归纳

问题6：围绕本课内容及反映的数学思想，以知识发生发展过程为线索，请你用自己的语言归纳本课所学内容，提炼思想方法，总结学习经验.

生1：这节课，我学会了求解点到直线的距离和点到平面距离的向量方法和基本步骤.

生2：在方法上有了更多的选择，几何法和向量法哪个容易就用哪个.

生3：思维上看，向量法是把几何运算变成了代数运算，用代数方法可以解决更复杂的几何问题.

设置问题6，学生通过交流与反思，运用自己的语言解释和交流数学概念、应用和思想方法，并能对几何法与向量法进行比较评价，进一步培养了数学思维和数学素养.

综上，“问题导学”教学法下的教学设计，课堂主线清晰，课堂结构完整，以问题驱动数学活动，让学生经历完整的知识发生发展过程，不仅能很好地培养学生的数学核心素养，更能让教师有了具体的操作方法.

[  参   考   文   献  ]

黄河清.高中数学“问题导学”教学法[M].北京：教育科学出版社，2013.

（责任编辑 黄春香）