抽象函数解题策略探研

陈曦阳

重庆市育仁中学 重庆 400000

前言

说它抽象也不抽象，抽象函数在高中数学中却是一大重点学习内容，其对学生各方面思维能力都有较高要求，思维的转换和解题变通尤为重要，要熟悉并掌握函数的基本知识，这是基本能力。本篇文章会根据在解决抽象函数所遇到的问题进行解析，着重分析目前高中数学中的各种抽象函数的学习技巧，同时研究出解决这些问题的策略。

一、高中数学抽象函数的常见题型及解决策略

正所谓抽象函数，它不会给出具体一些解析式给你，只是提示你式子有什么函数特征，难就是难在这里了，下面介绍几种抽象的具体问题形式和一些解析题型的方法。

1.1 给出一函数定义域求另一函数定义域 一般一函数的定义域为A，求另一函数定义域，就是已经给出了我们所给函数取值的范围了，我们就此便可以解出所求。

学生在学习态度上在很大程度上影响着学生学习知识的效果。因为抽象函数的学习会耗费大量脑力，不能中途懈怠。所以这部分知识的难度也是可想而知。高考数学中，抽象函数题型综合题一般最后一题中进行考查。当然，各地考卷不同，安排题型顺序也不一样。但难度一致，这些都是学生在学习数学的过程中需要重点克服的短板问题。

学生在实际操练时看到的往往只是题目本身的含义，而没有深入地考虑问题内在的逻辑和普遍规律。在解决问题时，学生的最终目的大都是解出最终答案的数值，而很少有人主动深入探究问题，从多个层次、多角度地分析得出最适方法。

1.2 给出函数定义域，同时也给出满足的条件，求赋值函数的值 这题型的解决关键在于未知与已知之间的联系，在脑海中对函数进行另一种赋值，便能知道未知已知之间的关系。考量了个人的抽象思维，所以解这样的题目就要自己去多次赋值以达解决目的，很多学校对高中数学的抽象函数这一部分的内容有着很大重视，因为该部分将函数与实际数模结合得很紧密。通常作为压轴放在最后一大题，但不代表学生要放弃这一题。

学生在高考中普遍存在放弃最后一题的现象，在此给出提议，抽象函数不是那么可怕，技巧性非常强，不能光看题目就觉得这很难，一定得抽出时间来完成这一种题型，平时也要养成这种习惯进行“题海式”实际操练。此外，部分学校在教抽象函数的方法上，常常会忽略学生课后思考和探究的重要作用，不能做到与学生进行知识掌握程度的沟通，忽略了学生发散性思维的培养和提升，这样就不能更好得提高学生想象能力了。

1.3 给出条件，求出函数它的解析式 这是常见题型之一，看清楚变量之间有什么关系，有多少个变量，尽量通过转化使变量减少，最后保留一个变量。通常也是要为函数赋予它值达到变量“变没”。高中的数学讲的就是人思维逻辑变通，靠着逻辑演绎推进和发展。这种抽象函数题型好比一个洋葱，要不断拨开外面的皮才看得到它在内的本质，最后还是要多练这种题目然后总结技巧。

1.4 利用函数对称性求赋值函数的值 遇到这种题目，可以观察到它要代入的量很大，很多多同学便感到棘手。在解决问题之前要掌握各类函数对称的性质。下面给出一题，帮助大家更好的了解：

例8.已知函数y＝f(x)满足f(x)+f(-x)＝2002，求f-1(x)+f-1(2002-x)的值。

解：已知式即在对称关系式f(a+x)+f(a-x)＝2b中取a＝0，b＝2002，所以函数y＝f(x)的图象关于点(0，2002)对称。根据原函数与其反函数的关系，知函数y＝f-1(x)的图象关于点(2002，0)对称。

所以f-1(x+1001)+f-1(1001-x)＝0

将上式中的x用x-1001代换，得f-1(x)+f-1(2002-x)＝0

关于点或者中心对称的问题不少见，关键还是要清楚函数的性质结合赋值迭代求出最终结果。

5 综合性抽象函数

此题型的抽象函数在以上题型加大了难度，需结合各个性质并贯通它们。

例9.定义在R上的函数f(x)满足：对任意实数m，n，总有f(m+n)＝f(m)·f(n)，

且当x＞0时，0＜f(x)＜1。

(1)判断f(x)的单调性；

(2)设A＝{(x，y)|f(x2)·f(y2)＞f(1)}，

解：(1)在f(m+n)＝f(m)·f(n)中，令m＝1，n＝0，得f(1)＝f(0)，因为f(1)≠0，所以f(0)＝1。

在f(m+m)＝f(m)·f(n)中，令m＝x，n＝-x

因为当x＞0时，0＜f(x)＜1

所当x＜0时-x＞0，0＜f(-x)＜1

而f(x)·f(-x)＝f(0)＝1

又当x＝0吋，f(0)＝1＞0，所以，综上可知，对于任意x∈R，均有f(x)＞0。

设-∞＜x1＜x2＜+∞，则x2-x1＞0，0＜f(x2-x1)＜1

所以f(x2)＝f[x1+(x2-x1)]＝f(x)·f(x2-x1)＜f(x1)

所以y＝f(x)在R上为减函数。

(2)由于函数y＝f(x)在R上为减函数，所以f(x2)·f(y2)＝f(x2+y2)＞f(1)

即有x2+y2＜1

这一题涉及到单调性那就一定要考虑两个问题，第一f＜0＞的取值问题，二是f(x)＞0的结论。综合题就是会考量多个方面的运用，从特殊到一般，遵循这个原则就能循序渐进了。

二、抽象函数填空题应试技巧

如果临近高考，大家都应该认识到，就数学知识和数学能力而言，经过一年的复习，到了这个时候，大家的能力基本已经定型了，已经是定在了那个级别，那么基本上临近高考的这些天这个级别不会产生太大的变化。因此，我们的复习的关键是要把你这一年来复习工作的收获尽量地归纳总结，然后总结出属于自己的应试技巧，这个技巧也会决定你的考场应付能力，所以也应着重培养一下。以下有几个填空题的应试技巧：

2.1 直接法 直接法也可理解成直接代入法，结合它的函数性质，定理等所有知识进行代入，直接出结果。

2.2 特殊化法 当填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的不定量用特殊值代替，即可以得到正确结果。

2.3 数形结合法 对于一些含有几何背景的填空题，若能数中思形，以形助数，则往往可以简捷地解决问题，得出正确的结果。

2.4 等价转化法 将问题等价地转化成便于解决的问题，从而得出正确的结果。解决恒成立问题通常可以利用分离变量转化为最值的方法求解。

解答这些题型的时候，先做有依据去解决的题，该拿的分一定要拿到。应试技巧要在各种模拟考试中去自己摸索出来，如果程度较好的同学可以两天做一次选择和填空题的训练，这个就是所谓经常热身。另外在热身中，寻求解题的成功率和提高解题速度。

另外通过图象，学生也可以在脑海中更加直观地建立问题模型，更加清晰又充分地解读题意。运用数形结合的数学思想解决函数问题、能够大大提高学生的学习效率以及学生的理解效率。图象的运用既能够将抽象问题变得直观化、形象化，也能够帮助学生更加容易地理解题意。

三、总结

高中数学教学要求教师准确把握各章节知识点的重点和难点，在抽象函数知识的讲解中，不可过偏地抓重点和难点，而是要在把据基础知识的前提下，做一些拓展知识的介绍。考虑到抽象函数部分的内容难度较大，教师在讲解过程中应当把据好没一个章节的节奏，给予学生适当的鼓励，让学生能够充满自信的去学习和解题。