例析导数中常见错误及应对策略

2019-07-11 09:25易文峰
读与写·上旬刊 2019年8期
关键词:错因切点定义域

易文峰

中图分类号:G633.6 文献标识码:B 文章编号:1672-1578(2019)22-0161-02

导数是高中数学新课程中新增加的重点内容之一,是以函数为载体考查函数的重要性质,特别是在求曲线的切线方程,探究函数的单调性与极、最值等问题方面能给解题带来不少便捷。刚好这段时间我们在学习《导数及其应用》章节,在批改作业时发现诸多因理解不周而导致的错误。下面列举出几种常见的错误,通过分析致错原因以及应对策略,希望能对同学们有所帮助。

1.对导数的定义理解不周致误

例1、已知函数f(x)在点x0处的导数为m,则lim△x→0f(x0-△x)-f(x0)△x=.

错解:m

错因分析:对导数定义里“增量”理解不周导致,由“增量”含义可知:(x0-△x)-x0=-△x,

正解:因为lim△x→0f(x0-△x)-f(x0)△x=-lim-△x→0f(x0-△x)-f(x0)-△x = -m

应对策略:其实定义中的“增量”是一个整体思想,自变量的增量从函数值的 “增量”中△y=f(x0-3△x)-f(x0)可以知道为-3△x,

如:f′(x0)=lim△x→0f(x0+△x)-f(x0)△x=lim-n△x→0f(x0-n△x)-f(x0)-n△x(其中n为常数)

练习:已知函数f(x)在点x0处的导数为m,

则 =lim△x→0f(x0+3△x)-f(x0-4△x)△x=.

2.对导数的几何意义理解不周致误

例2、已知曲线f(x)=2x2+3,求过点p(2,9)处的切线方程。

错解:由导数的几何意义可知切线的斜率k=f′(2)=8,所以切線方程为:y-9=8(x-2),化简得切线方程为:8x-y-7=0

错因分析:误以为P点为切点,对导数几何意义理解不周所致。对于这种题型首先要验证已知点是否在曲线上,然后确定该点是否为切点?

正解:易知P点不在曲线上,设切点坐标为(x0,y0),由导数几何意义知切线的斜率k=f′(x0)=4x0,故切线方程为:y-2x20-3=4x0(x-x0),因切线过点P(2,9),所以:9-2x20-3=4x0(2-x0),求得x0=3或x0=1,故过P点的切线方程是4x-y+1=0或12x-y-15=0.

应对策略:①先确定点的位置,并确定该点是否是切点?若是,则切线的斜率即为导函数在切点横坐标处的导数值,反之先设切点坐标(x0,y0),② 求k=f′(x0),写出切线方程:y-y0=f′(x0)(x-x0),再把已知点的坐标代入此方程求出x0的值,即可求出切线方程。

练习:求曲线y=x3-x+3过点(1,3)处的切线方程。

3.对复合函数概念理解不周致误

例3、已知曲线f(x)=xe1-x在点(1,1)处的切线平行直线ax+y-1=0,则实数a的值为。

错解:f′(x)=e1-x+xe1-x , 由导数几何意义知:切线斜率k=f′(1)=2,

故a=-2.

错因分析:对复合函数概念理解不周,其中y=e1-x是复合函数,其导函数是 -e1-x.

正解:由f′(x)=e1-x-xe1-x,故k=f′(1)=0,所以a=0.

应对策略:当遇到复合函数y=f(g(x))求导时,可先将复合函数拆分成两个基本函数y=f(u),u=g(x),则y′x=y′u·u′x,即可准确地求出复合函数的导函数。

练习:已知直线y=kx+b是曲线y=lnx+2和y=ln(x+1)的公切线,求实数b的值。

4.忽视函数定义域致误

例4、求函数f(x)=lnx+x22的单调区间

错解:f′(x)=1x+x=x2+1x,故f(x)的单增区间是(0,+∞),单减区间是(-∞,0)

错因分析:忽视了函数的单调区间与其定义域之间的被包含与包含的关系,定义域是函数的存在域。求函数单调区间的步骤是:①求定义域,②求导数,并求解f′(x)≥0或f′(x)≤0的解集,同时验证使f′(x)=0的x值是否是有限个,③找出解集与定义域的公共解集,写成区间即为相应的单调区间。

正解:单调递增区间为(0,+∞)。

应对策略:当遇到用导数求单调区间问题时,严格按照求函数单调区间的步骤,特别不能忘记定义域。

练习:函数f(x)=2xx+1的单调区间是( )

A.在R上是单调递增

B.在(-∞,-1),(-1,+∞)上单调递增

C.在(-∞,-1)∪(-1,+∞,)上单调递增

D.在R上单调递减

5.对导数与单调性关系理解不周致误

例5、已知函数f(x)=2-ax2在(0,+∞)内单调递增,求实数a的取值范围。

错解:f′(x)=2ax3,且f′(x)=2ax3≥0在(0,+∞)内恒成立,所以2a≥0,即a≥0即为所求。

错因分析:f′(x)>0或f′(x)<0是函数f(x)在相应区间上单调递增或单调递减的充分不必要条件;而f′(x)≥0或f′(x)≤0f(x)在相应区间上单调递增或单调递减,但必须满足使得f′(x)=0的x值为有限个。若f′(x)=0恒成立,则函数f(x)为常函数,而常函数无单调性可言。

正解:由f′(x)=2ax3易知:当a=0时有f′(x)=0,但此时函数f(x)=2为常函数,故a>0即为所求。

应对策略:一般地,如果函数f(x)在区间[a,b]上单调递增(递减),则等价于不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在区间[a,b]上恒成立,然后可借助分离参数等多种方法求出参数的取值范围。在利用这种方法求解时,还要注意,得到参数取值范围后,要检验端点处的参数值能否使f′(x)恒等于0?若恒等于0,则应舍去这个端点值,若f′(x)不恒等于0,则其符合题意。

练习:1.已知函数f(x)=x3+ax2+3x-1(a>0),若函数f(x)在其定义域内为增函数,求实数a的取值范围。

2.已知函数f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1没有极值,则实数a的取值范围( )

A.-36 D.a≤-3或a≥6

6.对导数与极、最值关系理解不周致误

例6、已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值为10,则f(2)=( )

A.11或18 B. 11 C. 18 D.17或18

错解:f′(x)=3x2+2ax+b,由f′(1)=0且f(1)=10,即2a+b+3=0且a2+a+b+1=0,解得a=4,b=-11或a=-3,b=3,代入f(x)即可求得f(2)=11或18,故选A.

错因分析:对于可导函数而言,导数为0的点不一定是极值点,但极值点的导数肯定为0.函数f(x)在x=x0处取到极值的充要条件是:①f′(x0)=0,②在x=x0左右俩侧的导数值的符号相反。显然错解的原因只考虑了满足条件①。

正解:明显当a=-3,b=3时,f′(x)=3x2-6x+3=3(x-1)2,易知在x=1的左右导数都有f′(x)>0,即函数f(x)在R上是单调递增的,因此f(x)在x=1处并不存在极值,故a=4,b=-11符合条件,故选C.

应对策略:f′(x0)=0是x0为极值点的必要不充分条件,对于给出函数极大(小)值的条件,一定既要考虑f′(x0)=0,又要考虑检验是否符合左右导数符号异号的条件。

练习:求函数f(x)=x3-2x2+1在区间[-1,2]上的最大值与最小值。

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