奇数阶中立型微分方程正解的存在性

马小箭，赵环环

（山西大同大学数学与统计学院,山西大同037009）

近年来,高阶中立型微分方程与其所对应的不等式最终有界正解的存在性受到了许多学者的关注,得到了一些较好的研究成果[1-2]。

在2004年,欧阳自根等[1]研究了奇数阶中立性微分方程

和相对应的不等式

得到了它们存在最终正解的充要条件。

2008年,刘有军等[2]研究了偶数阶带分布时滞微分方程

和相对应的不等式

同样得到了它们最终正解存在是等价的。

通过此类方程的发展过程和其的证明过程来看,为了得到关键的不等式,会将方程的阶数分为奇偶来讨论,并且在证明过程中也会体现出较大的差异,这对方程和其对应的不等式形式也提出了一定的要求。通过对文献[1]认真研读和详细分析后,将方程的阶数由偶数改为奇数, 利用了新的引理,克服了在算子构造上的困难,同样得到了它们最终正解存在的充要条件。为了相关工作，我们还认真查阅了关于非振动解存在性的著作和论文[3-8]。

考虑奇数阶多时滞中立型微分方程：

和其对应的不等式

（1）这 里n为 奇 数 ，

（2）fj(t,u)是关于u的单调不减的实函数，且ufj(t,u)>0,j=1,2,…,l。

定义1若方程的一个解有任意大的零点,则称其为方程的振动解,否则,称之为非振动解。

定义2若x(t)是方程（1）的解，且存在充分大的T>t0,当t≥T时,x(t)≥0,则x(t)为方程（1）的一个最终正解。

引理1设，使得令是不等式的(2)的一个最终有界正解，设

则最终有

证明由于x(t)最终有界，且，使得，则y(t)也最终正解，由(2)式知，

定理1设引理的所有条件都成立，且

(H1) 当t充分大时，

(H2)min{n} >0, 且当t充分大时，存在j,(1 ≤j≤l),使得Pj(s)≠ 0,s∈ [t,t+σ]，则方程(1) 存在有界的最终正解的充要条件是不等式(2)存在有界的最终正解。

证明必要性是显然的。

充分性，设不等式(2)式的一个有界的最终正解x(t),t＞0，令

由引理1和(2)式最终有

用(4)式并对(2)从t到∞积分，得

重复以上步骤n+1 次，再用到(4) 式，可得

用Toneell's定理，交换积分次序，得

又因为

所以

即

选取T≥0，使得(4)式成立，且x(t-u)>0，

考虑函数集

且定义Ω 上的算子S如下：

易知S是连续的。由(6)式容易看出S是从Ω到Ω 的一个映射，对于任意的z∈Ω ，都有(Sz)(t)>0,T-u≤t

且

则由(6)式简单推导，可得

所以是(1)的一个非负解。

证明ω(t)＞0，t≥T-u,否则存在，t*≥T, 使得ω(t)＞0，T-u≤t≤t*, 且ω(t)=0。则

这暗含着

bi(t∗)=0,i=1,2,…,m,Pj(s)fj(s,ω(s-σj))=0,j=1,2,…,l,这与(H1)或(H2)矛盾，因此ω(t)是方程 (1)的一个最终有界正解，证毕。