借助数学实验工具 发展学生空间观念①——数学实验工具“水”立方的设计与运用

李 清 王晓峰

(1.江苏省西安交通大学苏州附属初级中学 215021；2.江苏省苏州工业园区教师发展中心 215021)

空间想象力是以现实世界为背景，对几何表象进行加工改造，创造新的形象的能力，空间想象力是数学诸多能力中的重要组成部分.空间观念是对一个人周围环境和实物的直接感知，对于二维与三维图形及其性质的领会和感知，图形之间的相互关系和变换图形的效果是空间观念的重要方面.空间观念是发展空间想象力的基础，是我国义务教育阶段几何课程的主要目标和数学核心素养之一，也是创新精神所需要的基本要素.

数学实验是学生动手动脑，以“做”为支架的数学教与学的活动方式，是在教师引导下，学生运用有关工具，通过具体操作在认知和非认知因素参与下，进行的一种发现数学结论、理解数学知识、验证数学结论的数学活动.借助数学实验工具，可以改变学生学习的数学知识形态，改善学生的数学学习方式，促进学生数学核心素养的全面发展.

近年来，江苏省初中数学实验教学研究团队一直致力于实验工具的研发工作，“水”立方就是为发展学生的空间观念而设计的数学实验专用工具.利用“水”立方，笔者在江苏省第八届数学实验专题研讨会上执教了《“水”立方——探索正方体截面的形状》一课，取得了较好的教学效果，获得了与会专家们和老师们的高度肯定.

1 实验工具“水”立方的思考与设计

正方体是生活中最常见的图形，也是最基本的几何体，是初中阶段学生经常接触和认识的一种几何体.有研究表明，三维图形与二维图形的相互转换是培养学生空间观念的主要途径.“正方体被平面所截的截面可能的形状”就是一个典型的三维图形与二维图形相互转换的问题，因此，切截正方体是初中阶段培养和发展学生空间观念的一个较好的载体.

传统的实验工具都是用萝卜、橡皮泥等制成实物模型代替正方体，但在实际操作时会受到很多因素的制约，影响教学的效果.如正方体模型的材料要不易切割、耗材较大、切截的技术要求高，用刀切截时存在安全隐患等等.基于此，实验工具“水”立方应运而生，它主要有以下几个优点：(1)截面一定是平面；(2)可重复使用，无损耗；(3)无技术要求，能够让研究过程直指目标；(4)操作简单、快捷、安全.“水”立方实验工具的水面相当于截面，调整其摆放方式，水面就可以从不同的角度与正方体的面相交，从而观察出截面的形状.

考虑到用一种水量并不能截出所有的截面形状(三角形、四边形、五边形、六边形)，因此通过计算及实验，设计了两个“水”立方：水量少的1号“水”立方可以截出三角形、四边形、五边形，如图1；水量多的2号“水”立方可以截出四边形、五边形、六边形，如图2.在对1号“水”立方进行操作后，可以引发学生“增加水量是否会出现六边形”的思考，在对2号“水”立方进行操作后，可以引发学生“增加水量是否会出现七边形”的思考.

图1 图2

2 《“水”立方——探索正方体截面的形状》教学设计与实录

2.1 引入

(1)播放视频：世界上最大的钻石“非洲之星”的设计、加工过程.

教师：开场白，播放视频.

学生活动：观看视频.如图3，图4，图5.

图3 图4 图5

解说词：世界上最大的钻石原石叫“库利南”，是1905年在南非的一座矿山中被发现的，它重达621克.后来“库利南”被交给当时欧洲最顶级的宝石工匠约瑟夫阿什进行分割，这个有名的工匠花了几个星期来观察、研究这块原石.还按它的大小和形状造了一个玻璃模型进行试验，历经6个月才最终成功将它分割.又历经8个月，原石被打磨成9颗大钻石和96颗小钻石，其中最大的一颗重达530.2克拉，被称为“非洲之星”.它有74个刻面，是世界上最大的切割钻石.它被镶在英国女王的权杖上，目前价值超过20亿美元.

教师：“非洲之星”经过了怎样的加工过程？

学生：观察、想象、实验、切割、打磨.

教师：好，今天我们就来研究如何切割钻石.

【设计意图】本环节的目的是通过视频介绍钻石“非洲之星”的加工过程，以钻石切割为研究线索，引导学生感受本课学习的必然性与必要性，体现本课的学习价值.

(2)提出问题：将已经加工成正方体形状的钻石原石进行切割，只切一刀，切割面会是怎样的形状？

教师：用数学的眼光来看，这个问题就是“探索正方体截面的形状”.(板书：探索正方体截面的形状.)

①认识正方体形状特征

教师：在切割钻石原石之前，需要先观察研究原石的形状特点，然后再根据这些特点设计切割面.

思考：正方体具有怎样的形状特征？

学生活动：观察、描述.

特征1：8个顶点、12条棱、6个面.

特征2：1个顶点处有3条棱、3个面.

特征3：12条棱都相等，互相垂直或平行.6个面都相同，互相垂直或平行.

特征4：棱与棱相交之处是顶点(线与线相交得点)、面与面相交之处是棱(面与面相交得线).

【设计意图】本环节的目的是通过钻石切割，引出本课的研究主题.利用钻石加工的必要过程——切割前先观察钻石原石的形状特征，让学生感受到在切割正方体之前，先对正方体的形状特征加以认识是必要的，合情合理而又自然.同时，认识正方体的形状特征，也是为了对即将展开的探索活动中的相关发现进行说理做必要的引导和铺垫.

②认识“水”立方

教师：了解了正方体形状特征，我们就可以来设计正方体钻石原石的切割面了.

思考：正方体的截面会是怎样的形状？

学生活动：观察、操作、演示.

观察猜测：三角形、四边形、五边形、六边形等.

实物操作：学生利用提供的正方体实物进行切割.

演示解释：当有学生切出截面时，由该学生进行演示切割方法，并解释.

教师：这位同学已经切出了一种截面.但是，如果这个正方体实物就是一颗钻石原石，你还敢轻易地对它进行切割吗？(不敢！)为什么不敢？(带有破坏性)那该怎么办？(做个替代物)那就让我们先做个替代物进行尝试——“水”立方.(板书：“水”立方，完整呈现本课课题：“水”立方——探索正方体截面的形状.)

教师介绍“水”立方及使用方法：观察“水”立方，可以把水面当成正方体的截面，通过调节“水”立方的摆放方式，就能得到正方体截面的不同形状.

【设计意图】本环节的目的是先通过对正方体实物尝试进行切割，让学生感受直接对实物切割将会带有破坏性，会存在巨大的风险，从而引导学生感受设计替代工具“水”立方的必要性.

2.2 探索

活动1：利用“水”立方探索正方体的截面形状.

教师：用“水”立方切割出你想象的截面，并将你的发现记录在实验记录单上.

学生活动：小组合作，操作发现，思考分析，展示发现的正方体截面形状.(可能会有遗漏的情况.)

思考1：为什么截面会出现这些形状?

思考2：对于正方体截面的形状你还有怎样的想法?

学生可能的想法1：是否还有遗漏的截面形状？

学生可能的想法2：截面是否能为七边形？

学生可能的想法3：正方体截面是否能为特殊的形状？

……

思考3：从图6的位置开始，你能利用2号“水”立方依次截出四边形、五边形、六边形形状的截面吗？

学生活动：操作、演示、解释.如图7，图8，图9.

说明：“思考1”和“思考2”学生先提出哪一个，就先处理哪一个，具体顺序由课堂实际情况决定.“思考3”作为活动2进行处理.

图6 图7 图8 图9

【设计意图】本环节的目的是通过观察想象提出猜想、动手操作进行验证、推理分析获得发现、运用结论解决问题，让学生经历完整的数学探究过程.在看一看、猜一猜、做一做、想一想、说一说的过程中，引导学生发现和提出问题、分析和解决问题，学会如何“透过现象看清本质”，给学生提供了想象空间，学生产生、形成了数学活动经验，发展了空间观念，提高了推理能力.

活动2：利用“水”立方探索正方体截面形状的特殊性.

教师：为了使切割成的钻石更加地美观，切割师还会考虑入光线的折射问题等问题，这就需要对钻石切割面的形状有进一步要求.(介绍两种钻石切割的方式，如图10，图11.)

图10 图11

思考1：正方体截面可以是特殊的三角形吗？(等腰三角形，等边三角形，但截不出直角三角形、钝角三角形.)

思考2：截面除了是正方形外，还可能是其他特殊的四边形吗？(矩形、平行四边形、菱形、梯形、等腰梯形等.)

思考3：当截面为四边形时，这些四边形是否具有共同的特征？(至少有1组对边互相平行.)如果有，请说明原因.(至少有1组面互相平行.)

思考4：当截面为五边形呢？(2组对边互相平行.)

思考5：当截面为六边形呢？(3组对边互相平行.)

学生活动：思考、操作、发现、分析、说理.

【设计意图】本环节的目的是通过对正方体截面形状的进一步探索，引导学生在想一想、做一做的过程中提高发现问题和提出问题的意识，在做一做、说一说的过程中提高分析和解决问题的能力，学生积累了数学活动经验，发展了空间观念.分析说理的过程，又加深了学生对正方体的认识，提高了推理能力.同时，活动1和活动2，又能够让学生感受一般到特殊的数学研究的途径与方法，积累图形研究的经验.

活动3：利用“水”立方探索切割后所得几何体特征.

教师：钻石原石经过切割后，剩下的余料当然也要尽可能利用起来，将其重新加工成小的钻石.那么，正方体切割后，余下部分(液体部分)是怎样的几何体？

思考1：当截面为三角形时，余下的部分会是怎样的几何体？

思考2：当截面为四边形时，余下的部分又会是怎样的几何体？

思考3：这些截面为四边形的几何体是否具有共同的特征？如果有，请说明原因.

思考4：当截面为五边形时呢？

思考5：当截面为六边形时呢？

学生活动：思考、操作、发现、分析、说理.

【设计意图】本环节的目的一是关注对数学思维能力的培养，感受互逆的数学研究的途径与方法.活动1、活动2是“由体到面”，活动3是“由面到体”，构成了两个互逆的探究过程，在这个过程中体现了对正向思维与逆向思维的数学思维培养，促进了数学活动经验的累积与叠加；二是为活动4做好了准备，活动4是通过活动1、活动2所获得、积累的经验的应用，活动3与活动4又形成了自然衔接.

活动4：三棱锥的截面会是怎样的形状？

教师：通过对刚才几个问题的研究，同学们体验了学会观察、学会操作、学会思考的数学学习方法，也积累了研究几何体截面问题的经验，下面我们就运用所学到的知识与方法再去分析、解决与钻石切割有关的问题.

思考：三棱锥形状的钻石原石切一刀，截面会是怎样的形状？(观察由活动3得到的三棱锥，几何画板中呈现图形，如图12.)

图12

学生活动：观察、思考、发现、解释.

欣赏：利用几何画板进行多步切割，演示成为“钻石”的过程后，欣赏世界上著名的几颗钻石.如图13，图14，图15.

图13 图14 图15

教师：钻石切割是多面体截面在实际生活中的一个应用，类似于这样的应用在生活中还有很多，你能举出这方面的例子吗？

【设计意图】本环节的设计目的是通过观察、分析三棱锥截面的形状，对几何体截面的研究方法的掌握情况进行评价，再次感受本课的学习价值，同时在运用经验分析和解决问题的过程中，促进了数学活动经验的再次累积与叠加.

2.3 总结

本节课研究了正方体截面的形状问题，在探索的过程中，我们学会了动手操作、动脑思考的数学学习方法，知道要透过现象看清事物的本质.请大家课后继续探索常见的如球体、圆柱体、圆锥体、棱锥体的等几何体的截面问题，巩固今天的所学.

一颗钻石原石看起来并不起眼，但经过精心设计、精准切割、精致打磨，就会成为璀璨夺目、煜煜生辉的精美钻石.钻石切割也是人类追求完美的过程，但呈现这种完美的机会只有一次！

3 一些思考

数学实验是学生利用实验工具进行观察想象、操作验证、推理证明的数学活动，借助数学实验工具，学生可以亲身体验、感悟几何图形的抽象、运动与变化，这与《义务教育数学课程标准(2011年版)》提出的“空间观念的目标的达成是一个包括观察、想象、比较、综合、抽象分析的过程”具有高度的一致性.因此，数学实验工具有助于培养学生的空间想象力，借助数学实验工具可以有效发展学生的空间观念.

3.1 利用数学实验工具，可以提供发展空间观念所需要的丰富的现实情境

空间观念的形成基于对事物的观察与想象，现实世界中的物体及其关系是学生们观察的最好材料，学生已有的经验是观察、想象、分析的基础，教学中结合学生们熟悉的现实问题情境是发展学生空间观念的有效策略.初中阶段，图形的运动、几何体的展开与折叠、几何体的视图、几何体与用平面去截所得的截面等，都蕴涵着三维图形与二维图形的相互转换，都是培养学生空间观念的重要载体，为此，设计和利用专用实验工具尤为必要.如，利用“线面体形成仪”可以探索点、线、面、体之间的关系，利用“多面体表面组件”可以探索多面体与其构成的表面间的关系，利用“小立方体套件”可以探索不同组合图形的视图关系，利用“‘水’立方”可以探索正方体截面的形状.另外，学生身边的物品，也能作为发展空间观念的实验工具，如纸张、橡皮、文具盒、直尺、三角板、量角器等，这些专用实验工具和普通实验工具都能为发展学生的空间观念提供丰富的现实情境.

3.2 利用数学实验工具，可以提供发展空间观念所需要的观察想象的空间

空间观念的培养是一个长期的积累经验、丰富想象力的过程.观察与描述是发展空间观念的基础，想象与再现是更高层次的空间观念的表现.借助实验工具“水”立方，在活动1中，通过“由体到面”(三维到二维)，引导学生先想一想正方体截面可能的形状，再操作“水”立方去做一做，然后看一看截面出现的形状，把实际看到的和想象的进行比较，从而得出正确的结论.在活动2中，通过“由面到体”(二维到三维)，引导学生发现截面四边形形状的共同特征，再操作“水”立方去做一做，发现产生共同特征其中的原因.在活动3中，通过“由面到体”(二维到三维)，引导学生先想一想截得的几何体的形状，再操作“水”立方去做一做，发现截得的几何体的形状特征.在活动4中，通过“由体到面”(三维到二维)，引导学生想一想、说一说三棱锥截面的形状.这样，利用实验工具“水”立方，在面与体相互交织的过程中，学生充分感受、体验了三维图形与二维图形的相互转换，学生把握面与体之间关系的能力得到了提高，形成、获得、积累了想象的经验，丰富了想象力.

3.3 利用数学实验工具，可以提供发展空间观念所需要的推理分析的机会

空间观念的发展可以通过多种途径实现，如生活经验的回忆与再现、实物观察与描述、拼摆与画图、折纸与展开等，但推理与分析是各种途径中必要、也是最为重要的一个环节.《义务教育数学课程标准(2011年版)》指出：要尽可能地为学生提供观察、操作、归纳、类比、猜测、证明的机会，发展学生的推理能力.具有一定的推理能力是培养学生数学素养的重要内容，也是数学课程和课堂教学的重要目标.活动1中，借助实验工具“水”立方，学生先通过观察与想象获得对“正方体截面可能的形状”的猜想，然后通过动手操作“水”立方验证猜想，发现正方体截面的各种形状，再通过动脑思考利用“截面多边形的边是截面与正方体的面的交线”加以证明，并依此解决了“截面是否能为七边形？”的问题，同时也为活动4的探索积累了经验.在活动2中，通过提出“对于正方体截面的形状你还有怎样的想法？”引导学生思考“截面是否能为特殊的形状？”然后对截面三角形形状的特殊性进行探索，再对得到的截面四边形的形状提出猜想“这些四边形是否具有共同的特征？”通过观察，发现这些四边形的共同特征“至少有1组对边平行”，再利用“正方体的四个面中至少有1组面互相平行”加以证明，并依此解决了“截面五边形和截面六边形的形状特征”的问题，同时也为活动3的探索积累了经验.这四个探索活动，都提供给了学生主动发现和提出问题、分析和解决问题的机会，在经历合情推理获得猜想、发现结论；演绎推理验证猜想、证明结论的过程中，发展了推理能力.

借助数学实验工具，可以让学生经历观察想象、操作验证、推理证明、获得结论、应用结论解决问题的完整的数学学习过程，这样的学习活动，不仅有利于“四基四能”目标的全面达成，对于提升学生的数学素养，引导学生学会用数学的眼光观察世界、会用数学的思维思考世界、会用数学的语言表达世界，也将起到积极地推动作用.