核心素养视域下的“椭圆及其标准方程”的教学改进

罗德建 伍春兰

(1.北京师范大学附属中学 100052； 2.北京教育学院 100120)

《普通高中数学课程标准(2017年版)》指出：数学核心素养是数学课程目标的集中体现，是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现，是在数学学习和应用的过程中逐步形成和发展的[1]. 可见，“学科核心素养”是集合概念，是从学生学习结果的角度界定未来社会所需要的人才的形象[2]. 因此，“核心素养”与“学科核心素养”落地，需要探寻有效的培育途径和过程.

2018年10月，我们参加了京(北京)台(台湾)面向未来的基础教育峰会，与来自台湾的老师就“椭圆及其标准方程”同课异构. 通过备课、上课、评课及研讨，我们基于核心素养的培养，对本节教学内容有了一些新的思考.

1 定义引入

人教A版、人教B版、北师大版和湖南教育版等不同版本的教材[3-6]对椭圆定义的引入大致相同，都在介绍了一些生活中的椭圆的例子的基础上，通过细绳和铅笔画出椭圆，再总结画图过程中动点应满足的几何条件，进而给出椭圆的定义. 其中人教A版和北师大版教材在画椭圆前先用绳子和铅笔画圆，体现了二者之间的联系. 湖南教育版教材在前言中加入了“生活中的圆锥曲线”，以数学实验的形式介绍生活中的圆锥曲线的例子，包括实验内容和步骤、实验结果、对实验结果的分析. 在结果分析中，还介绍了将圆“压扁”得到椭圆，并由此得到椭圆的方程.

我们以“椭圆及其标准方程”为主题，在中国知网搜索(截止到2019年2月)，一共有174条结果. 关于引出椭圆定义的教学，目前教师倾向的设计可归纳为四部曲：直观感知—动手操作—动画演示—概括定义，即先介绍生活中的椭圆的例子，再让学生动手画椭圆，接着用几何画板或GeoGebra动画演示椭圆的形成过程，最后抽象出椭圆的定义.

在动手操作环节，常常设计成如下的系列活动.

活动1：取一条定长2a的细绳(无弹性)，将其两端固定在图板的同一点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖一周，观察笔尖的轨迹．

活动2：在活动1中，将细绳的两端固定在图板的两个点(细绳松弛状态)，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖一周，观察笔尖的轨迹.

活动3：在活动2 中，当细绳两端间的距离增大或缩小时，观察笔尖的轨迹变化．

递进的活动设计，对椭圆定义的概括是有启发的. 但无论是教师展示、学生观察，还是学生动手操作；无论是传统媒体的绘制，还是现代信息技术的介入，事实上，这样的设计学生思维的参与度并不高. 特别是为什么要用长度是2a的细绳，怎么想到由一固定点到两固定点的“裂变”，学生很难体会. 为了摆脱“牵引”学生发现椭圆定义的所谓“自主探究”，一些教师尝试改进.

1.1 折纸实验[7]

在圆O内任取一点F(与点O不重合). 在圆周上任取一点N，将其与圆心O相连，得半径ON. 折叠圆形纸片，使点N与点F重合，将折痕与半径ON的交点记作M. 重复以上过程，得到若干交点，观察交点形成的轨迹(如下图).

折纸实验让学生活动起来了，不仅由此能抽象出椭圆的定义，还能发现折痕是椭圆的切线，进一步还可以研究椭圆的光学性质. 后续还可以折纸生成双曲线、抛物线. 但是学生可能会质疑怎么想到要这样折纸的，同时折纸实验得到椭圆定义的过程对学生转化和抽象的能力要求较高，学生在发现轨迹上点的共同特征时会遇到较大困难.

1.2 将圆压扁

文献[8]关注了学生可能会产生的疑问：怎么知道要取两个定点，用一段绳子就能画出椭圆？并从学生对椭圆的已有认识出发，发现将圆x2+y2=r2“压扁”即进行伸缩变换就能得到椭圆. 在引出椭圆的几何定义时，启发学生对圆的定义作适当的修改，改变“在平面上”、“一个定点”，“距离等于定长”等条件，进而发现其中一种情形得到的动点轨迹就是椭圆.

这样的设计使得学生的思维活跃了起来，在改变条件得到的众多轨迹中找到了椭圆，也为未来研究其他相关的曲线埋下了伏笔. 但是，这些轨迹都由几何画板生成，缺乏学生动手操作、感知椭圆形成的环节. 此外，在将圆“压扁”得到椭圆的方程后，并没有体现出这个环节对于后续研究椭圆的作用.

1.3 问题引导

文献[9]关注了椭圆情境的创设，让学生进行课前探究，在完成如下问题1的基础上，自己改变题目中的条件，探索动点轨迹及方程：

问题1：在平面内，已知定点F1,F2和动点M，若|MF1|=|MF2|，动点M的轨迹是什么？若|MF1|=2|MF2|，动点M的轨迹是什么？

接着，在课上从学生改变的几何条件中选出“|MF1|+|MF2|=常数”，让学生画图，发现得到的轨迹是椭圆，进而抽象出椭圆的定义.

这样的设计让学生经历了发现椭圆定义的过程，拓展了学生的思维，也为将来研究双曲线、抛物线奠定了基础. 不过，由于问题1中事先给出了两个定点、一个动点，学生并没有经历由一个定点、一个动点能画出圆到两个定点、一个动点画出椭圆的思维过程，对于圆与椭圆的关系也没有涉及.

1.4 圆到椭圆

我们在实施教学时，先将直立的圆柱形玻璃水杯倾斜，让学生观察水面的边界的变化；接着，借用“椭”字的释义(“长圆形”)，触发学生思考：我们研究椭圆的定义(未知)不太容易，能否“以退为进”，由圆的发生定义(已知)怎样改变条件得到椭圆？

进一步，教师提问：用一条绳子(无弹性)能画出圆吗？怎么画？为什么？接着，让学生2人一组尝试画出其他的图形. 开放的情境，引发了学生思维的发散，预设的结果已基本实现. 有的学生发现，将绳子两端不重合时，固定两端，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的图形呈现了我们印象中的“椭圆”的形状；还有的学生发现虽然绳长一样，但画出的椭圆有的圆一些，有的扁一些. 有的学生还发现有时画不出轨迹来；有时轨迹会是一条线段.

设计从学生已有的经验出发，通过画图活动，“逼”学生改变条件画出更多的图形，从而发现椭圆的生成. 然后学生回顾画图活动，让原来有思路的学生更有逻辑，原来无意画出椭圆或没想法也没画出椭圆的学生有了思考问题的入口点. 最后，学生用语言描述画出的椭圆，逐步过渡到椭圆定义. 整个活动的设计，关注到学生的数学抽象和逻辑推理素养.

2 性质猜想

在得到椭圆的定义后，一般会让学生自己建立平面直角坐标系，将椭圆的几何定义坐标化，推导椭圆的方程. 我们在推导方程之前增加了一个环节，让学生大胆猜想椭圆的几何性质和方程. 这样类比圆去研究椭圆，用圆的方程猜想椭圆的方程，让学生厘清知识间的联系，积累数学活动经验，体会转化的思想.

圆椭圆定义平面内到定点的距离等于常数的点的轨迹.平面内与两定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹.图形方程x2+y2=a2怎样建系得到的椭圆方程可能会更简单?请猜想椭圆方程的形式.几何性质对称性:关于圆心中心对称、关于直径所在直线轴对称…椭圆可能具有什么样的对称性?

学生提出可以将圆“压扁”得到椭圆，即对圆x2+y2=a2上的点的坐标进行伸缩变换，并由此猜想出椭圆方程可能具有的形式特征：二元二次方程，无xy、x、y项，x2、y2项的系数不相等.

我们知道，方程依赖于坐标系，所以自然希望能合理建系，使得方程通过化简能变得尽可能简单. 同时，在推导方程之前，我们并不知道椭圆的方程是什么样子，但如果在合适的平面直角坐标系下还能猜想出椭圆方程的大致形式，那就为化简整理提供了大方向. 这样的设计加深了学生对椭圆与圆之间关系的认识，体现了用解析的方法研究曲线的一般思路，同时提升了学生的思维品质.

3 方程推导

对于椭圆标准方程的推导，人教A版、北师大版和湖南教育版教材都采用了“移项平方”的方法，在等式两边构造出大量相同项，消去后起到化简的效果; 人教B版教材通过构造共轭无理数对去根号，这个方法很多学生不容易想到，但这样做只需经历一次平方，所以在验证曲线方程定义时要容易一些. 其中，北师大版教材给出了对“以方程的解为坐标的点都在曲线上”的严格证明过程供学生参考，人教A版只说明了“以方程的解为坐标的点都在曲线上”是成立的，但未证明. 而人教B版和湖南教育版教材未提及此问题.

在椭圆标准方程推导的实际教学中，由于推导过程较长、运算量较大，很多教师常常采用直接讲授，或者告知结论，将推导过程留为作业的方式. 这样设计看似节省了课上时间，可以完成更多的练习，却失去了提升学生思维水平和运算能力的契机.

在本节课中，我们鼓励学生在认真分析方程特点的基础上，自己推导椭圆的标准方程.因为有了前面猜想椭圆方程的铺垫，学生已经能把握化简整理的方向：需要通过平方去掉方程中的根号. 那么怎样减少运算量？引导学生“三思而后行”. 多想常常就能少算，但少算不代表不算. 最后要让学生自己完成方程的推导.

首先，向学生提出问题：回顾刚才画图的过程，大家可以大胆猜想，椭圆具有对称性吗？对称中心在哪？(线段F1F2中点)对称轴在哪？(直线F1F2、线段F1F2的中垂线)为了使推导出的方程比较简单，应如何建系？(以直线F1F2为x轴，以线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系).

设焦距为2c(c>0)，则F1(-c,0),F2(c,0). 设M(x,y)为椭圆上任意一点，点M与点F1、F2的距离之和为2a(a>c>0)．点M满足的几何条件为：|MF1|+|MF2|=2a.

将几何条件坐标化，得

显然椭圆上任意一点M的坐标都是方程①的解；反过来，以方程①的解为坐标的点都在椭圆上，所以方程①就是椭圆的方程.

但方程①的形式非常复杂，距离我们的猜想还有一些距离，我们需要化简方程.

对于方程的化简过程，设计了以下几个预案：

预案1：直接平方[10].

将方程①平方，得

平方，得

(x2+y2+c2)2-4c2x2

=4a2+(x2+y2+c2)2-4a2(x2+y2+c2)，

整理得

(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)，

因为a>c>0，所以a2-c2>0；

设a2-c2=b2，b>0，可得

预案2：移项平方[3].

预案3：通过共轭无理数对去根号[4].

预案4：联系等差中项[11].

两式平方后作差，得

再将上式两边平方、整理即可.

在课堂上，学生对椭圆标准方程的推导提出了多种算法. 我们应该提倡对同一问题的“算法多样性”. 还课堂给学生，让学生完整阐释自己的想法，既尊重了学生的个性发展，又有助于提升学生独立分析和解决问题并进行严谨的数学表达的能力. 在分享与交流中，可以让更多学生关注每种算法是“怎样想到的”，“如何实施”，“在实施的过程中需注意些什么”、“不同算法有什么优势与劣势”等问题，进而促进更多学生理性思维的发展，提升推理与运算的能力.

4 反思建议

4.1 史料渗透

圆锥曲线是渗透数学文化的一个很好的载体. 从历史上看，以梅内克缪斯、阿波罗尼斯为代表的古希腊数学家从纯几何的角度研究了三种圆锥曲线，得到了很多几何性质. 让学生在课下自己制作圆锥，用平面截圆锥，发现和证明截痕上的点所满足的几何条件，联系立体几何与平面几何，可以充分体会“几何”的味道；让学生了解圆锥曲线在天文、生活中的实际应用，在这个过程中感悟圆锥曲线的发展历程，有利于开拓视野，培养科学精神.

椭圆是我们向学生系统介绍的第一种圆锥曲线，讲清楚它从何而来，有何应用，将为学生后续学习双曲线、抛物线提供类比的对象. 通过数学史的渗透，发现三种圆锥曲线是一个有机的整体，有利于帮助学生理解其数学本质.

4.2 思维培养

4.3 教材比较

在台湾的教材中，一般称椭圆、双曲线、抛物线为“二次曲线”. 这是从三种曲线方程特征(都是二次方程)的角度给出一个统一的称呼. 台湾的课程标准除了要求学生掌握三种二次曲线的标准方程，还要求掌握平移、伸缩后的椭圆、双曲线方程，对斜的或退化情形不作要求. 这样可以更好的认识三种曲线的方程的特征. 同时，台湾教材一般按照抛物线—椭圆—双曲线的顺序进行讲授. 这是由易到难的顺序. 抛物线相对于椭圆、双曲线来说定义和几何性质都要简单一些，而且学生在学习二次函数的图象与性质时对抛物线已经有了一些直观的认识，所以先讲抛物线学生接受起来会比较容易. 在研究三种曲线的几何性质时，台湾教材还给出了“正焦弦”(过焦点且垂直于对称轴的弦)、“焦半径”(二次曲线上的点到焦点的距离)的定义及性质.

大陆的教材称这三种曲线为“圆锥曲线”，是从历史上三种曲线来历(同为平面截圆锥的截痕)的角度，给出一个统一的称呼. 我们一般按照椭圆—双曲线—抛物线的顺序讲授，先讲椭圆的定义—标准方程—几何性质，这里体现了用解析的方法研究一类新曲线的一般思路，即根据曲线的几何定义，合理建系，得到曲线的方程，实现由形到数的转化，再用方程刻画曲线，利用方程研究曲线的几何性质，这是由数到形的过程. 接着，只需类比椭圆去研究双曲线和抛物线.

4.4 技术融入

在引出椭圆定义的教学环节，一些信息技术较好的教师都会使用几何画板或GeoGebra动画演示轨迹的生成过程，这样有助于学生理解“点”动成“线”，直观地感知椭圆的形成过程. 同时还能呈现出学生改变定义条件后得到的其他曲线的形态，后面继续用解析的方法研究双曲线、抛物线也就变得很自然了.

综上所述，本节内容属于一节数学概念课，概念是数学的基础，概念的产生常常包含了数学抽象的过程，而在理解和应用概念的过程中又必然用到逻辑推理与数学运算. 因此，在概念课教学中教师应重视过程、背景与联系，通过各种数学活动的设计，让学生深度参与到概念教学中，以自主思考、探究的方式感受数学概念的生成过程，体会概念产生的必要性及定义的合理性. 即使对同一概念已经讲授过很多遍，我们认为，教师在进行教学设计时还是应基于学生已有的认知与学情，与时俱进，在不断的改进中提升教学效果.