指向认知地图形成的初中数学学案设计

章飞 顾继玲

摘   要 学案不仅是静态的认知地图，而且能提升学生认知地图建构的能力，因此，学案设计的目标指向认知地图的形成。指向认知地图形成的学案设计原则有目标引领原则、任务驱动原则、学法内蕴原则、结构外显原则、运用内化原则、互动激趣原则。学案编写中应做到“五学”的要求“能学”（基于学案能学习），“会学”（脱离学案也会学），“善学”（融会贯通灵活学），“选学”（根据需要选择学）和“乐学”（感受成功乐于学）。

关键词 数学教学  学案导学  初中数学  认知地图

学案作为学生学习的支架，可以帮助学生自主学习，从而较好地实现“以学定教”，以学案为载体的教学改革，充分发挥了学生的主体性，促进了学生学习方式的变革，因而，近十年来，以学案为载体、倡导自主探究与合作交流的各种教学改革尝试，在全国范围迅速推广[1]。但是，多数学案没能很好地体现出学习支架、认知工具的作用，部分学案仅仅是题目的堆砌，自然也难能真正提升学生的学习能力和思维品质。崔允漷教授基于教学测的一致性认为，一份完整的学案包括学习主题和课时、学习目标、评价任务、学习过程、检测与作业、学后反思6个要素[2]，并构建了教学评一致性模型[3]。实际上，为了达成教学评的一致性，学案中一般都有学习目标、学习评价两个栏目或者说学习环节[4-5]。

学案如能贴合学生学习心理与认知发展规律，确可引领学生“按图索骥”完成学习任务，因而，可以成为学生学习的一个认知地图;学案不仅仅是一个静态的认知地图。如能在学案中外显认知地图的结构，引领学生感悟认知的一般模式与方法，可以提升学生自主建构认知地图的能力。从这个意义上，学案导学的目标是，引领学生自主建构认知地图。

一、指向认知地图形成的初中数学学案设计原则

为了达成“指向认知地图形成”的学案定位，要做到以下几点：首先，要将杂乱的学习材料组织化、结构化，形成可行的认知地图;其次，要通过外显结构，使得可行的认知地图可视化;再次，引领学生在感知、运用中促进认知地图的内化;最后，以学案为载体的师生互动环境下，需要借助互动激发学生的主体性。为此，确定了以下6个原则：1.目标引领原则。给出明确、可测量的目标要求，以目标指引学习方向，也可以让学生自我检测学习的效果。2.任务驱动原则。根据不同知识的认知规律设计渐次递进的任务，以任务驱动学生自主学习。3.学法内蕴原则。要求学案中各任务之间存在内在的联系，反映具体学科知识的认识规律，内蕴着具体的学习方法。4.结构外显原则。外显不同知识的认知结构，使得学案成为可视化的认知地图。5.运用内化原则。学案中适时引领学生审视学案这一“认知地图”的結构，并迁移运用到类似知识的学习中去，通过构建新知识学习的认知地图，实现认知地图建构能力的内化。6.互动激趣原则。学案既是学生学习的载体，也是师生交流的载体，因此要充分发挥这一交流载体的价值，适度地通过文本互动激发学生学习的兴趣。

二、指向认知地图形成的初中数学学案编写要求

在指导一线教师学案编写中，形象化地总结了学案编写的具体操作要求——“五学”。

1.能学（基于学案能学习）

在自主学习能力发展的初级阶段，学生尚离不开他人的帮助，但务必要做到在他人的帮助下能完成学习任务，达成学习目标。学案导学教学改革中，学案作为学习任务的载体，承担着认知地图的作用，因此，其设计要尽量做到学生能按图索骥，在学案的帮助下能完成学习任务，称之为“能学”。

案例1：一道题的学法指导与变式

如图2，AB=BC=CD=DE=EF，若已知∠DEF=∠A，求∠BCD。

这个问题难度偏大，没有教师的帮扶，多数学生不能独立解决这道题。为此，笔者对这个问题进行了修改，通过由易到难逐步递进的题组，既揭示了题目的联系与变化过程，也展现了问题解决的共性方法。

如图2，AB=BC=CD=DE=EF.

①若∠A=18°，试在图2中标出其他角的度数。

提示：“AB=BC=CD=DE=EF”，将这个条件标注到图形中，可以得到很多等腰三角形，很多相等的角！

反思：∠A确定后就确定了所有的角，如果已知的是其他角，能否也确定所有的角呢？我们不妨感受几个！

②若已知∠BCD=140°，求∠A。

③若已知∠DEF=20°，求∠A。

④若已知∠DEF=∠A，求∠BCD。

（1）学习进程科学（符合学科知识的认知规律）。科学的进程是对学生学习最好的帮助。

（2）学习要求适切（贴合学生的认知发展水平）。学习要求适切是学案导学成功的前题，因此，学案设计前应充分了解所任教班级学生的学力状况。

（3）操作要求明确（明确学习的辅助材料、时间、方式、要求等）。对于学案中的具体任务，要设法给出具体而明确的操作要求，便于学生的自主学习。

（4）帮助适时适度（内嵌适时适度的帮助，代替教师实现“面对面”的指导）。

当学生学习遇到困难时，应给予学生及时的帮助，为此，学案中应嵌入一些针对性的指导语，这样，学案就成了一个随叫随到的“老师”，可以替代老师进行“面对面”的指导。这个“老师”将伴随学生的学习全过程，可以记录学生学习的成长过程，进而成为学生复习的好帮手[6]。

2.会学（脱离学案也会学）

如果仅仅满足于按图索骥，离开了学案这个认知地图的帮助还无法自主学习，尚不能算是会学习。为此，需要通过学案的设计，促进学生完全自主地学习，确保学生离开了学案的帮助，也能习得相关知识，是谓“会学”。学案设计要关注核心素养，针对具体内容进行一些普适性的学习方法指导，并将学习方法在学案中外显出来。

案例2：道题的求解与变式

如图3，正方形ABCD中，E在BC上，F在AB上且∠FDE=45°，求证：EF=AF+CE.

提示1：结论是“EF=AF+CE”，要证明一个量等于两个量的和，这方面你有哪些经验？

提示2：能否将EF分解成两个短的线段，使得它们正好等于AF和CE，或者将两个短线段AF、CE合并到一起，证明它等于EF？

反思1：说说解决本题时你遇到的困难是什么，你是如何突破的？

反思2：本题还有哪些方法，在图中进行简单的标注，将思路记录下来，并与同伴交流一下。

变式1：你还可以得到哪些结论？如线段的相等、角的相等等，与同伴交流。

变式2：已知A到直线EF的距离等于正方形的边长，求证∠FDE=45°。

变式3：已知∠DFA=∠DFE，求证∠FDE=45°。

提示1实际上是提醒学生思考待证结论的特征，并回忆原有的解题经验，便于后续的调用。这样的提示语是普适的，便于迁移的。提示1更多地是思想方法类、解题习惯类的提示语[1]。解题的目的并不是解题本身，而是通过解题积累解题经验，提升解题能力。学生解题经验的积累，有赖于对解题过程的反思与变式发展，为此，案例中解决问题之后给出了若干反思和变式。反思1，旨在引导学生主动地外化解题的经验;反思2，意在发展学生思考问题多样化的意识;变式1-3，则重在引导学生对原有问题进行变式。实际上，一些优秀教师已经形成了“一题多解、一题多变、多题一法”的思想，作为学案，只是应更清晰地外显出这些反思、变式的过程，让学生切实感受到相应的学习方法，形成勤于反思、善于变式的习惯和能力。

3.善学（融会贯通灵活学）

学习的最高境界是“善学”，能够融会贯通地学习，能够举一反三地迁移运用同类或相近知识学习的路径与方法，实现迁移学习、结构化学习。为此，学案应外显数学学习的结构，并通过字号、字体的改变或适当的语言引导，将揭示学习结构的文字与正文部分区分开来，学生可以便捷地从中感知数学学习结构，从而能将这样的学习结构迁移运用到后续相关内容的学习中[6]。图4是从平方差公式一课的学案中抽取出的结构图[7]，学生不难从中感知到公式探究性学习的顺序大致是：探究公式——认识公式——运用公式;在“运用巩固”阶段明确点出了公式的套用、变用、反用、连用等方法。

4.选学（根据需要选择学）

作为引导学生学习的学案，应关注到不同水平的学生，尽可能设计不同水平的学习任务与要求，便于学生根据自身的学习能力和需求做出适合自己的选择，为此，提出了“选学”的要求。具体可以表现在以下几个方面：第一，弹性的任务（设置不同水平的问题）。例如，案例2中的变式3，就是较高层次的学习任务，仅供学有余力的学生自主选择。第二，弹性的要求（赋予任务不同水平的要求）。例如，设置开放性的问题，学生可以基于自己的学力得到不同水平的结果;可以明确提出不同层次的要求，让学生根据自己的学力情况自主选择。第三，弹性的指导（设计不同层级的提示引导语）。例如，对于一个具体的问题，可以针对不同学力水平的学生设计不同层次的提示引导语。案例2中，首先对所有学生给出普适性的帮助——提示1，但普适性的提示，对部分学生是无效的，为此学案中提供了更为具体的帮助——提示2。如果还担心部分学困生不能解决这个问题，可以做一个关于解答的链接，让这部分学生自己阅读链从而理解解法。总之，学案中可以提供多个层次的帮助，使得不同学力水平的学生都能有所收获，而又不越俎代庖[6]。

5.乐学（感受成功乐于学）

学生从学案中应能感受到老师的激励，通过学案学习能感受到成功的喜悦，从而喜欢学习。为此，学案设计应精心预设学生，设计具有一定挑战性而“跳一跳”又可完成的任务，让学生在探究性活动中获得成功的体验;学案应贴合初中学生的特点，采用学生的语言“平等”地交流，并不时给予评价与鼓励;文本应具有可读性和交互性，让学生时时感受到教师的关心、帮助和指导。例如（1）“幂的乘方，是啥玩意儿？”你能写一个吗？（2）不就多用一次法则呗！再多一些，相信你也会！（3）“这么多梯子，陡峭程度怎么比？”遇到复杂的，先挑容易比的下手呗！

“五学”要求中，“能”学是对学案的基本要求，“会”学、“善”学是希望学生从学案中感受到学习的方法、学习的结构，从而产生迁移运用，形成真正意义上的自主学习，“选”学是学生差异性的内在要求，“乐”学则是情感体验的要求。

参考文獻

[1] 章飞.学案的问题与应对[J].基础教育课程，2012（04）.

[2] 崔允漷.学历案：学生立场的教案变革[N].中国教育报，2016-06-09-（06）.

[3] 崔允漷，雷浩.教—学—评一致性三因素理论模型的建构[J].华东师范大学学报：教育科学版，2015（04）.

[4] 王新民，王富英，谭竹.数学学案及其设计[M].北京：科学出版社，2011（10）.

[5] 章飞.将学习的主动权还给学生——初中数学学案设计与案例赏析[M].北京：北京师范大学出版社，2013（12）.

[6] 章飞，陈蓓.学案导学导在何处[J].数学教育学报，2013（03）.

[7] 章飞.促进学生自主学习的教科书研发[J].江苏第二师范学院学报：自然科学，2014（02）.

【责任编辑  郭振玲】