对一道函数最值问题的多解探析

范铯

[摘  要] 函数最值问题具有代数和几何双重属性，从不同的角度分析往往可以获得不同的性质条件，针对不同的视角采用不同的思想方法可以构建不同的解题策略，同时对同一问题开展多解学习可以有效提升解题思维，文章对一道函数最值问题进行多解探究.

[关键词] 函数;最值;多解;不等式;配方;性质

考题再现

分析：本题目给出了函数f（x）的解析式，求f（x）的最小值，属于典型的函数最值问题，考查的是学生视角选取、知识综合和方法运用的能力. 上述函数中含有正弦函数，由于其本身周期、值域、定义域的特殊性，解题时需要充分利用函数的性质. 另外，函数的性质介于代数与几何两者之间，具有双重特性，因此对于该问题的解法探究可以从不同的视角切入.

多解探究

對于函数最值问题的求解，从不同的角度思考，可以将问题向不同的方向转化，利用对应的技巧方法来完成求解，下面将对本题目进行多解剖析.

1. 代数分析，巧借不等式

函数最值问题从代数角度分析可以将其视为一般的不等式问题，即可以利用相关公式构建涉及原函数的不等式，如对于求f（x）的最小值可以考虑构建不等式f（x）≥a，则a就为f（x）的最小值.

评析：上述对于函数最值问题的求解采用的是构建函数不等式的方式，在求解过程中首先利用公式进行了三角变换，然后利用四元均值不等式直接构建了不等式方程，最后通过对不等号右边代数式的分析间接获得了原函数的最小值. 整个解题思路是基于函数的代数属性，利用代数的等价转化、恒等变形方法来构建最值模型，需要指出的是不能忽略不等式中等号成立的条件，等号成立与否直接关系到最值获得的有效性.

2. 代数变形，活用配方

求函数的最值，同样参照初中数学常用的配方法，通过拼凑的方式将函数转化为只含有代数平方和常数项的形式，则在定义域范围内函数的最值就与常数项有关，对于原函数f（x）=2sinx+sin2x可以转化为含有sinx和cosx的二元函数，对其配方可以采用设主元的方式，将其中一个视为主元，另一个视为常数.

评析：上述采用的是多项式的配方法来构建代数分析模型，利用了实数性质和不等式性质来求解函数最值. 求解的关键是配方的过程，对于上述的二元函数，最为有效的配方方式是主元设定，需要注意的是选择不同的主元所获得的配方过程也不相同，涉及的计算量也有明显差异，因此具备一定的“数感”对于简化求解有着重要意义.

3. 几何转化，图像研究

从几何角度分析函数最值问题，几何图像最能直观反映函数的某种变化规律，因此可以考虑将原函数进行适当变形，将其转化为相应的几何问题，通过对几何图形的特征分析，利用性质来直观求解. 一般函数问题的几何变形方式可以采用如下思路：首先对函数中的变量进行设定，然后结合函数的几何定义进行转化.

评析：将函数最值问题转化为几何最值问题，利用几何特征和数学经验来直接求解对于提高解题效率有极大的帮助. 数学函数本身就具有几何与代数的双重特性，用直观的几何图像来表征问题可以充分挖掘问题内涵. 函数问题向几何问题转化一般可以采用如下步骤：赋值变形→图形绘制→特征分析→几何求解.

4. 函数分析，求导取值

从常规的函数求值角度来看，求函数的最小值可以通过构建导函数，通过研究导函数的性质来确定原函数的单调性，然后确定其最小值，需要注意的是由于原函数涉及了三角函数，则函数必为周期性函数，在分析时要充分把握其特殊性.

评析：高中数学对于函数最值问题，最为常用的解题策略是导函数分析，上述求解就是基于该策略构建的解题思路，即首先构建导函数，求解导函数的驻点，然后分析通过导函数确定原函数单调性来完成最值的求解，在解题时考虑到了原函数的周期性，从而有效缩短了函数的研究区间，该方法技巧对于函数的研究有一定的启示作用.

解后思考

1. 把握函数本质，构建知识体系

上述探讨的函数最值问题具有几何和代数的双重特性，从不同的视角分析可以获得相应的解题思路，从问题本质来看是函数的属性所造成的，即函数的性质可由几何与代数两方面来表征. 代数知识可准确描述函数的数量关系，而图像可以直观呈现其几何关系. 函数问题是众多知识的综合，求解该类问题的基础是充分理解代数和几何的相关知识，包括函数的周期性、值域与定义域的表述、函数求导、求切点以及单调性等，这些内容虽然在教材中以单章节呈现，但学习时需要我们在掌握的基础上把握知识联系性，构建完整的知识体系，提升解决综合问题的能力.

2. 关注基本方法，重视解题思维

在求解函数最值问题时，基于不同的视角采用了不同的方法，包括使用均值不等式、配方法、几何转化和求导法，这些方法都是代数与几何领域较为常见的方法. 本文对同一问题进行了系统呈现，从不同的视角对问题进行剖析，因此掌握基本的解题方法对于综合问题的求解有着重要的意义，是解题的前提条件. 另外，方法的采用是在基本的思维框架下开展的，解题的过程实际上就是思维的形成和发展过程，是串联公式、定理和方法的过程，只有促进解题思维的发展才能从根本上提升数学的解题能力，因此在实际教学中不仅需要关注方法的讲解，还需要重视学生思维的发展.