数学实验开展的条件性分析

张勇

摘    要 数学实验是数学学习的一种重要方式。当个体对某一问题有一定的预期，且不能通过内部表征的操作来形成一定的结论时，就需要进行数学实验;在开展数学实验时，要确保实验平台能够为学生提供一个层次合适的外部表征;在具体的学习过程中，要准确把握数学实验开展的时机，使之恰当地参与学生知识建构过程。这样数学实验才能成为个体知识建构的一种手段。

关键词 数学实验 条件 分布性 表征

数学实验是一种以实验为载体，探究问题或形成知识的学习活动过程。作为一种学习形式，其存在的理由和价值正逐步被认识。《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程，除接受学习外，动手实践、自主探索与合作交流也是数学学习的重要方式，学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、验证、推理、计算、证明等活动过程。”数学课堂上从来就不缺乏实验，在当前的课堂中甚而流行。在数学课堂上为什么要进行数学实验？为什么要进行这样的数学实验而不是其他？各类数学实验在具体教学过程中是否有效？ 本文拟探讨：对学习者、对数学实验本身及对整个教学过程，数学实验的开展需要什么条件。

一、从认知的分布性来看，数学实验要满足学习者的需求

传统认知理论认为认知是个体内部的信息加工过程。20世纪80年代加利福尼亚大学的赫钦斯提出分布式认知理论。赫钦斯认为认知的本性是分布式的，认知现象不仅包括个人头脑中所发生的认知活动，还涉及人与人之间以及人与技术工具之间通过交互实现某一活动的过程。

分布式认知理论比传统认知理论更加具有一般性。分布式认知理论并不排斥传统认知理论，因为认知的过程有时具有分布性，有时却仅仅操作于个体头脑中，不需要外化分布。在某种状态下，个体的内部表征缺失或者内部表征之间缺乏有效的信息交流，认知活动便不能有效地开展，这时候就需要外部表征的支持，内外部表征交互传递信息，完成整个认知过程。在这种状态下，认知的过程需要外部化，需要一定的媒介参与。数学学习活动属于认知活动，在内部表征不足以支持认知活动时，也需要外部化活动。

数学学习的外部化活动是否一定是以实验为载体？当然不是。数学活动除了接受听讲、内在思考，还有观察、猜想、验证、推理、证明、计算等。实验是为了检验某种理论或假设是否具有预想效果而进行的试验活动。作为一个相对独立的功能单元，数学实验应通过一系列操作对预期形成一个结论。之所以称之为相对独立的功能性单元，一方面实验可以重复进行，另一方面实验可以由他人完成。作为一个分析单元，数学实验应具有下列要素：假设或预期的结果、一定的操作程序、形成结论或解决问题。因此，对学习者来讲，在数学学习过程中，当个体对某一问题有一定的预期，且不能通过个体内部表征的操作来形成一定的结论时，就需要把操作外部化，这个独立的外部化操作的功能单元就是数学实验。

例如认识圆周率的教学。在研究圆的周长与圆的直径（半径）的关系时，学生已经通过直观发现，圆的直径越大，圆的周长就越大。学生可以作出猜想：圆的周长与圆的直径可能有一个固定的倍数关系。但是这个倍数关系需要通过测量计算才能得到，而通过个体的内部心理操作，无法完成这样的操作，最佳的方法就是让学生实地进行测量计算，并在此基础上形成对圆周率的认识。因此需要在个体体外构筑一个实验平台，通过一个外部的一系列操作，最终形成对预期结果的判断。

二、从表征的层次性来看，数学实验要提供合适的外部表征

上述关于数学实验的必要前提是从学习者的需求的角度来讨论的。具体到每一个实验，一个数学实验能否开展，还要看这个实验自身能否提供适合学生思维建构的外部表征。

赫钦斯认为，认知活动可以被看成是在媒介间传递表征状态的一种计算过程。认知的过程是内部表征与外部表征交互的过程，有效学习的过程应该是建立在内部表征与外部表征有效交互的基础上的。从数学实验的操作媒介来说，数学实验可分成器材操作实验、纸笔操作实验、软件操作实验。而构筑一个什么样的实验平台，为什么选择这样一个平台，还要看这个实验平台能否提供一个合适的外部表征。（这里采用比较静态分析方法，即学生水平是给定的。）

什么是合适的表征？数学学习的过程是以对情境中的事件和事物的理解为前提的。个体，尤其是低幼者，对事件和事物的认识，往往是从具体到抽象，特别是对现实中可见的事件和事物。因此，外部表征按照这种序列可以划分为三个层次。第一个层次是以实物器材、表演和动画、音视频呈现的对事件和事物的模拟，其主要对应于内部表征的表象、脚本等。第二个层次是对事件事物中的数量、位置关系的提炼，以图形、图标呈现出来，主要对应于内部表征的图式。第三个层次是以语言、符号来表征的对事件和事物的最高层次的抽象，主要对应于内部表征的概念、命题、产生式规则等。在个体既定的知识结构水平下，去除个体认知水平的影响，外部表征是否合适的最大问题在于外部表征的层次性把握得不准，从而对学习效果造成影响。

数学知识是符号化的、结构化的、高度抽象的，这是由数学知识表达的总趋势所致。要获得这样的高度概括的结构，需要经历一个过程。数学知识的建构并不是越抽象越好，也不是越形象越好，而是让数学结构逐渐剥离具体的情境并形成体系。在教学过程中，需要根据实际情况调整外部表征的层次，使之适应个体的内外表征交互的需要。因此，在探准内部表征的基础上，适当调整外部表征的层次结构是构建一个实验平台的关键。

例如认识有余数的除法的教学。在学习有余数的除法时，就需要利用学具實际分一分，从而形成有余数的除法的概念。要进行有余数的除法操作，首先学生得知道怎样进行平均分，当把手上的小棒全部分完时，每份不一样多，就不符合平均分的要求，然后将不该分的部分拿回来，丢在一边。下一次进行平均分的时候，先看一看、数一数手里剩下的小棒还够不够平均分，如果不够则丢在一边，这部分小棒的数量就是余数。但是如果通过纸笔操作，或者教师直接在黑板上画，就很难自如地将不该分的拿回来，很不方便在分掉的小棒与剩下的小棒之间进行操作比较。因此，学习有余数的除法利用器材操作比较好一点。

因此，一个合适的实验平台，必定能提供合适的外部表征，否则这个实验就没有实际价值，就不是必要的。

三、从认知的过程性来看，数学实验要恰当地参与认知建构

给你一本数学百科全书，你不一定会成为一个数学精通者。因为数学的大厦不仅是概念、定理、计算等知识的堆积，还需有个体的经验支撑。个体的知识建构需要一个过程。以上采用比较静态的方法，说明合理构筑某一个实验平台的必要性和重要性。在分析的过程中，学习者的水平始终是既定的。而数学学习活动目的的最终落脚点是学习者个体，所以最后还得回到学习者个体的具体学习过程中来讨论数学实验对学习者的知识建构的意义。一个具体的数学学习过程如何依赖于一个有效的数学实验？如何把握住开展数学实验的时机？

学习者的网状知识结构应该是稳固的，每一个结点应该是确定的，但这只是一种理想状况。况且，随着学习活动的推进，前后知识也会相互迁移，原来稳固的、确定的知识，有可能发生动摇。同理原来模糊的不确定的知识，可能会进一步得到固化。因此，对学习者知识结构的特点，要动态地去看，要精确到个体的某一个特定的知识点。

数学实验对知识建构来说，其本身是提供一个经验支撑的作用。如果实验的开展时机合理、控制得当，由它推演出的知识就应该是确定的。如果学生的某个知识点已经是确定稳固的了，那么再进行实验就显得冗余了，这样势必会降低课堂学习的效率;相反，如果学生的某一个知识点不太确定、不太稳固，就需要重新开展实验，让知识的边界明晰起来。

例如“将一张长6分米，宽4分米的长方形纸卷成一个圆柱体，圆柱体的体积最大是多少？”在这一问题的教学过程中，如果学习者已经知道“以长边为底面周长，以短边为高，所得到的圆柱体体积最大”这一知识点，那么就可以直接列式计算，不需要通过计算比较得出“怎样围体积最大”这一知识点。相反，如果学习者知识结构不稳固，还未掌握这一知识要点，就要重新进行实验探究。初次探究这个问题时，首先得知道长方形纸与卷成的圆柱的关系。如果知道长方形纸就是圆柱的侧面，长方形相邻的两边会转化为圆柱的底面周长和高，下面的操作程序就很简单了。在计算比较后，一定要问“为什么以长边为底面周长，以短边为高得到的圆柱体体积最大”这个问题，以便学生继续进行实验推理，从而形成一个确定的结论，并固化到知识结构中去。

一个教学环节的安排，一个教学手段的使用，在其使用条件允许的情况下才是有效的。数学實验在某些条件下是必不可少的，在某些条件下是冗余的。只有那些学生学习所需要的，与学生的心理操作相匹配的，有利于学生形成确定的稳固的知识结构的数学实验才是必要的、有效的。

[责任编辑：陈国庆]