关注模型特征 提升解题能力——“动点路径”中考试题归类解法思考

张建华

（江苏省淮安市淮海中学）

动点路径问题倍受中考命题者的青睐，这类试题能考查学生数学活动的过程、数学活动积累的经验、解决问题的能力、数学应用意识和创新意识.因此，这类问题常是填空题、选择题、解答题中的压轴题.动点路径是隐性的，需要根据动点的运动特征，抓住变化过程中不变的规律.因为动点所经过的路径长可求，所以常见的动点所经过的路径有直线和圆弧两类.虽然点的运动路径是隐性的，但是我们可以根据起点、过程点和终点确定其形状，进而通过五步解决问题：（1）画.画出动点的起点、过程点和终点.（2）看.观察三点是否在一条直线上.（3）猜想.在一条直线上是线段，不在一条直线上是圆弧.（4）验证.直线型动点路径常用平行基本事实、角的定义解决；圆弧型动点路径常用圆的定义、圆周角有关定理及推论解决.（5）计算.常用勾股定理、相似三角形等知识进行求解.本文列举近几年的中考试题进行归类剖析，分析、归纳模型特征，提炼破解之道.

一、直线型

类型1：动点与定直线距离不变时，动点的路径是直线

我们知道，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.根据这个基本事实，当一个动点到一条定直线的距离不变时，动点的路径为直线.

例1（2017年安徽卷）如图1，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3.动点P满足.则点P到A，B两点距离之和PA+PB的最小值为（ ）.

图1

解：如图2，作PE⊥AB于点E.

图2

所以PE=2.

所以点P在平行于AB的直线m上.

作点B关于直线m的对称点B′，

则BB′=2PE=4.

连接AB′交直线m于点Q.

则当点P运动点Q时，PA+PB最小，为AB′的长.在Rt△ABB′中，由勾股定理，得

故选D.

例2（2016年江苏·无锡卷）如图3，▱OABC的顶点A，C分别在直线x=1和x=4上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为_______.

图3

解：如图4，设直线x=1与x轴的交点为点D，过点B作BE垂直于直线x=4，垂足为点E.

则易证△OAD≌△BCE.

所以OD=BE.

所以BE=1.

所以点B的运动路径为直线x=5.

根据点到直线的距离中，垂线段最短，得OB长的最小值为点O到直线x=5的距离，即为5.

故答案为5.

图4

【评析】此题依据平行四边形的对称性，添加辅助线BE，构造△OAD≌△BCE，得OD=BE.因为OD=1，所以BE=1.从而可得点B到直线x=4距离为1，根据当一个动点到一条定直线的距离不变时，动点的路径为直线，可知点B在直线x=5上运动，将对角线OB长的最小值问题转化为“点到直线的距离，垂线段最短”的问题.此题考查了三角形全等、平行四边形，以及点到直线的距离，垂线段最短等知识，难点是判断点B经过的路径.

类型2：动点与定线段端点连接构成的角度不变时，动点的路径是直线

有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，根据角的定义，动点与定线段端点连接构成的角度不变时，表示动点在角的边上运动，即动点的路径是直线.

例3（2017年江苏·扬州卷）如图5，已知正方形ABCD的边长为4，点P是AB边上的一个动点，连接CP，过点P作PC的垂线交AD于点E，以PE为边作正方形PEFG，顶点G在线段PC上，对角线EG，PF相交于点O.

（1）若AP=1，则AE的值为__________；

（2）①求证：点O一定在△APE的外接圆上；

②当点P从点A运动到点B时，点O也随之运动，求点O经过的路径长；

（3）在点P从点A到点B的运动过程中，△APE的外接圆的圆心也随之运动，求该圆心到AB边的距离的最大值.

图5

解：（1）；

（2）①略；

②如图6，连接OA，在⊙M中，根据“在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等”，得∠OAP=∠OEP=45°.

所以在点P的运动过程中，点O始终在正方形ABCD的对角线AC上，且当点P与点A重合时，点O与点A重合，当点P运动到点B时，O为AC的中点.

所以点O经过的路径是一条线段，且长度为AC的一半.

所以点O经过的路径为.

图6

（3）略.

【评析】此题第（2）小题第①问是第②问的基础，根据“在同圆或等圆中，同弧所对圆周角相等”，得∠OAP=∠OEP=45°是解题的关键，即动点O与定线段AB端点连接构成∠OAP=45°，根据动点与定线段端点连接构成角度不变时，动点在角的边上运动，即动点的路径是直线.故点O经过的路径是一条线段，再根据点P的运动起点和终点确定出点O运动的起点和终点，从而求出点O经过的路径长.此题图形简洁，问题设置有梯度，层层递进，考查了相似三角形的性质和判定、直角三角形的斜边中线、正方形的性质、圆的性质、二次函数的性质等核心知识，综合性强.第一个难点是判断点O经过的路径是何种类型，进而根据类型求路径长，第二个难点是圆心到AB边的距离的最大值，通过相似三角形对应边成比例的性质来建构二次函数求最大值，区分度高，具有选拔功能.

二、圆弧型

类型1：动点到定点的距离不变时，动点的路径是圆

在同一平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一端点A运动所形成的图形叫做圆.根据圆的定义，可知动点到定点的距离不变时，动点的路径是以定点为圆心，动点到定点的距离为半径的圆.

例4（2017年江苏·连云港卷）如图7，在平面直角坐标系xOy中，过点A(-2，0)的直线交y轴正半轴于点B，将直线AB绕点O顺时针旋转90°后，分别与x轴、y轴交于点D，C.

（1）若OB=4，求直线AB的函数关系式；

（2）连接BD，若△ABD的面积是5，求点B的运动路径长.

图7

解：（1）y=2x+4.

（2）设OB=m，

因为△ABD的面积是5，

即m2+2m-10=0.

因为 ∠BOD=90°，

所以点B的运动路径为以点O为圆心半径为的圆弧.

所以点B的运动路径长为

【评析】根据旋转的性质——对应点到旋转中心的距离相等，点B运动的路径为以旋转中心O为圆心，以OB为半径的圆弧，根据△ABD的面积为5，可求出半径为，圆心角度数为90°.根据弧长公式可求出点B的运动路径长.此题考查了一次函数、旋转的性质、一元二次方程、弧长公式等重要知识点.

例5（2017年江苏·宿迁卷）如图8，在矩形纸片ABCD中，已知，点E在边CD上移动，连接AE，将多边形ABCE沿直线AE折叠，得到多边形AB′C′E，点B，C的对应点分别为点B′，C′.

（1）当B′C′恰好经过点D时（如图8（1）），求线段CE的长；

（2） 若B′C′分别交边AD，CD于点F，G，且∠DAE=22.5°时（如图8（2）），求△DFG的面积；

（3）在点E从点C移动到点D的过程中，求点C′运动的路径长.

图8

解：（1）；

（3）如图9，连接AC′，

所以动点C′的运动路径是以点A为圆心，AC为半径的圆弧.

当点C运动到点D时，点C′恰好在CD的延长线点H处.

因为AC=AH=CH=2，

所以∠CAH=60°.所以点C′运动的路径长为.

图9

【评析】此题以折叠变换为背景，重在考查学生相似三角形、等腰直角三角形、等边三角形、勾股定理、弧长公式、折叠变换等知识点，根据折叠变换的性质，得AC′=AC.动点C′到定点A的距离为2，点C′运动的路径为以点A为圆心，AC为半径的圆弧CH，根据弧长可求点C′运动的路径长.发现AC′=AC是解题的切入口.

类型2：动点是定斜边直角三角形的直角顶点时，动点的路径是圆

90°的圆周角所对的弦是直径.由此可知，动点若是定斜边直角三角形的直角顶点时，动点的运动路径是以定斜边为直径的圆.

例6（2016年安徽卷）如图10，在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为（ ）.

图10

解：因为∠PAB=∠PBC，

所以∠PAB+∠PBA=∠PBC+∠PBA=∠ABC=90°.

所以动点P的运动路径是在Rt△ABC内部，以AB为直径的圆弧（如图10）.

连接OC交⊙O于点P，则此时CP的长最短.

所以CP=CO-OP=5-3=2.

故选B.

图11

【评析】此题以线段长的最小值为立意，以动态几何为背景，重在考查学生分析问题、解决问题的能力，解答此题的关键在于确定动点P的运动路径，由定线段AB所对张角∠APB=90°，可知动点的路径是以AB为直径的圆.当圆心O和点P，C在同一条直线上时，PC的长取得最小值.

类型3：在定线段定张角时，动点的路径是圆

在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半.根据定理，动点对定线段所成的张角是定角时，动点的路径是以已知线段为弦，定张角为圆周角的圆.

例7（2014年浙江·金华卷）如图12，等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连接AF，BE相交于点P.

（1）若AE=CF.

①求证：AF=BE，并求∠APB的度数；

②若AE=2，试求AP·AF的值.

（2）若AF=BE，当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长.

图12

解：（1）①120°；

②12.

（2）AF=BE，得AE=CF或AE=BF.

①当AE=CF时，由（1）得∠APB=120°.

如图13，动点P在以AB为弦，所对圆心角为120°的圆弧上运动.

设圆心为点O，连接OA，OB，

所以点P经过的路径长为

图13

②当AE=BF时，点P经过的路径为过点C作AB的垂线段的长度.

所以点P经过的路径长为.

所以综上所述，点P经过的路径长为.

【评析】此题以动点问题为背景，考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、圆周角定理、勾股定理、垂径定理、弧长等知识.在第（2）小题中，由AF=BE，得AE=CF或AE=BF.当AE=BF时，由（1）知∠APB=120°，动点P与定点A，B连线所成角为定角.以定线段AB为弦，构造出以AB为弦，定角∠APB=120°为圆周角的圆.

近几年中考试卷中，填空题、选择题、解答题的最后一两道题，常涉及动点路径问题.此类问题难在其运动轨迹的隐蔽性上，若能引导学生聚焦图形的特点，关注其内在的数学本质，根据动点的运动特征，抓住变化之中不变的规律，便可以将动点路径化隐性为显性、化抽象为直观、以不变应万变.在教学中，让学生自主探究问题的过程，要留有余地，让学生有思有想，培养学生解决问题的方法，体会从几个特殊点入手，通过观察、猜想、验证、证明的过程，从中积累经验，从而达到授之以渔的目的.在解题过程中，要求学生不能满足于问题的解决，要引导学生审视问题，探究问题的本质，通过归纳总结，从而提高学生的思维水平，使思维得到拓展，从而达到做一题会一类，甚至知一片的目的.让学生立足基础之上，在知识的综合中进行知识的生长、数学模型的建构、数学思想的感悟、活动经验的积累，从而提高学生的数学素养.