“猜测检验法”巧破“试题迷宫”——以2018年广东省广州市中考试题第25题为例

吕莲花

（安徽省宣城市第十二中学）

数学教育要尽可能引导学生理解解决问题的思考过程，教师在讲授习题时，如果将答案直接给出，对学生来说就像波利亚形容的“帽子里的兔子”一样，是变魔术变出来的.没有发现的理由，没有思考的过程，对学生来说是没有说服力的.解答题不像证明题那样可以从结论入手，其没有结论特点，无法给予学生逆向思维的思考方式，因此辅助线的作法就更不容易想到.这就像走迷宫一样，只知道入口所在，而不知道出口所在，想成功走出迷宫就很难实现，过程中也会受到更多阻碍.但是如果可以找到出口，那么走迷宫的过程就有了方向感，也更容易成功，必要的时候还可以同时以入口和出口为起点，双向出发，在中间找到汇合点.或者有了出口的方向性指引，就努力朝着一个方向走，这样问题就容易解决了.下面以2018年广东省广州市中考试题第25题为例，对如何利用上述方法走出迷宫，做以相关的分析.

一、试题再现

题目如图1，在四边形ABCD中，∠B=60°，∠D=30°，AB=BC.

（1）求∠A+∠C的度数；

（2）连接BD，探究AD，BD，CD三者之间的数量关系，并说明理由；

（3）若AB=1，点E在四边形ABCD内部运动，且满足AE2=BE2+CE2，求点E运动路径的长度.

图1

二、思路分析

1.观察条件，寻找方向

首先，观察题目给出的已知条件：（1）∠B=60°；（2）∠D=30°；（3）AB=BC.可以将条件（1）和（2）组合放在四边形ABCD中考虑，也就是四边形ABCD已知两个对角∠B=60°，∠D=30°，那么根据四边形内角和为360°，可知∠A+∠C=270°.因此第（1）小题迎刃而解.

其次，将条件（1）和（3）组合，如图2，连接AC，得到△ABC是等边三角形.也就可以得到：（4）AB=BC=AC；（5）∠B=∠BAC=∠BCA=60°.

图2

条件（4）和条件（5）在第（1）小题的解题中没有用到，那么必然会在第（2）小题或者第（3）小题的解题过程中使用.

在第（2）小题中，需要讨论线段AD，BD，CD之间的关系.如图3，通过观察发现并不能将线段AD，BD，CD之间的关系和条件（4）（5）联系上.因为∠ADC=30°，所以可以得出点D是一个不固定的点，思考可以得出点D的轨迹应该是一条在以线段AC为弦的圆上的圆弧，且所对圆心角的度数是300°.

图3

2.猜测答案，定向出口

此时就是走迷宫的中间阶段，从入口出发的路已经走到尽头，走到了一个看似死胡同的位置，此时只能寻找出口，确定应该朝哪个方向走.

观察图形，使用猜测的方法确定出口.根据常见的线段之间的关系，以及线段AD，BD，CD的长短，猜测其之间可能存在以下两种关系：（1）AD+CD=BD；（2）AD2+CD2=BD2.因为点D是动点，所以线段AD和线段CD的长度也会随之改变，因此排除关系（1）.根据线段的长短关系，及其之间的变化关系，猜测线段AD，BD，CD之间满足关系（2）.

3.检验答案，确定正误

由于点D的运动轨迹是一条弧线，故可以将点D移动到特殊的位置来检验猜想是否正确.

位置1：如图4，当点D恰好在线段BA的延长线上时，可得∠BCD=180°-∠B-∠D=90°.在Rt△BCD中，∠D=30°，设AB=BC=AC=a，可得.所以AD=BD-BA=a.于是.所 以AD2+CD2=BD2.猜想得证.

图4

位置2：如图5，当点D为ADC的中点时，ADC是以点O为圆心的弧.此时AD=CD，∠AOC=2∠ADC=60°，所以此时△AOC是等边三角形.设AB=BC=AC=AO=CO=a，则可得.因为OD=OA=OC=a，所以.所以.在Rt△ADE中，.因 为AD=CD，所以.猜想得证.

图5

4.合情推理，走出迷宫

我们已经通过两个特殊位置的点D验证了猜想AD2+CD2=BD2的合理性，接下来就要从一般情况来论证猜想的正确性.这时需要将条件和结论合起来思考中间的推理过程，回头看现阶段的已知条件：（1）∠B=60°；（2）∠D=30°；（3）AB=BC；（4）AB=BC=AC；（5）∠ABC=∠BAC=∠BCA=60°；（6）∠A+∠C=270°.因为猜想的结果AD2+CD2=BD2满足直角三角形三边关系，所以这三条边必然可以转化到一个直角三角形中，那么必然会有直角.而条件（6）与直角合在一起恰好是周角，于是推理就走向将∠A和∠C通过旋转、对称或者平移合在一起，那么周角所剩下的角就是直角.而△ABC是等边三角形，通过旋转即可以将∠A和∠C合在一起.此外，将∠B与∠D相加，就可直接得到直角.

三、多种解法

以下展示题目第（2）小题的两种解法.

解法1：如图6，将线段BD绕点B顺时针旋转60°，得到线段BD′，连接DD′（也可以以BD为边向下作等边三角形BDD′，或将△BAD绕点B顺时针旋转60°），

所以△BDD′是等边三角形.

所以BD=BD′=DD′.

因为∠ABC=60°，AB=BC，

所以∠ABD=60°-∠DBC=∠CBD′.

所以△ABD≌△CBD′.

所以∠BAD=∠BCD′，AD=CD′.

由第（1）小题结论，得

∠BAD+∠BCD=270°.

所以∠BCD′+ ∠BCD=270°.

所以∠DCD′=360°-270°=90°.

所以DC2+CD′2=DD′2，

即AD2+CD2=BD2.

图6

还可以将BD逆时针旋转60°，也可以证明出结论，证明方法相同.

解法2：如图7，以CD为边向下方作等边三角形CDF.

则CD=CF=DF，∠CDF=∠DCF=60°.

因为∠ABC=60°，AB=BC，

所以△ABC是等边三角形.

所以∠ACB=60°，BC=AC.

所以∠BCD=60°+∠ACD=∠ACF.

所以△BCD≌△ACF.

所以BD=AF.

因为∠ADC=30°，∠CDF=60°，

所以∠ADF=90°.

所以AD2+DF2=AF2，

即AD2+CD2=BD2.

图7

四、类比迁移

以上两种解法都是在猜想的基础上，将原有的条件转化成与猜想相关的图形，合情推理自然通畅无阻.在此类问题中，猜想和条件对推理同等重要，但是猜想并不是无端的猜测，而是在观察基础上的合理猜想.波利亚认为，观察可以导致发现，观察只给出初步的归纳结论和猜测，不给出证明，检查你的猜测，可以考查一些特殊的情形和结果，任何特殊情形和结果被验证为正确，都增添了猜测的可信度.在以上的模式下，此题第（3）小题也就不那么难以解决了.

第（3）小题新增条件：（7）AB=1；（8）点E在四边形ABCD内部运动，且满足AE2=BE2+CE2.针对条件（8），我们可以类比解决第（2）小题时的猜想过程，猜想作图的方法依然是旋转.

解：如图8，将△ABE绕点B顺时针旋转60°，

得到△CBE′.

连接EE′，

则BE=BE′，∠EBE′=∠ABC=60°，AE=CE′.

所以△BEE′是等边三角形.

所以EE′=BE，∠BEE′=60°.

因为AE2=BE2+CE2，

所以CE′2=EE′2+CE2.

所以∠CEE′=90°.

所以∠BEC=∠BEE′+∠CEE′=150°.

所以点E在以BC为弦的圆弧上，

且圆周角∠BEC=150°.

所以圆心角∠BOC=60°.

图8

如图9，以BC为边，在△ABC的另一边作等边三角形BOC，再以点O为圆心，BC的长度为半径作圆，取在四边形ABCD的内部的圆弧，就是点E的运动路径，点E运动路径的长度为.

图9

五、反思启示

动点求解线段关系的题型对学生来说较难的原因一般有两点：（1）没有明确的结论，不知从何下手；（2）图中缺少辅助线，没有结论的猜想，不知道辅助线应该如何作.

日常教学中遇到动点求解题，教师应该带领学生先从线段的长短关系等做以分析并猜测答案，再使用特殊位置检验猜想，且尽量使用两种及以上位置进行检验，避免猜测的错误，最后根据猜测和检验的结果，联想辅助线的作法.

此类试题在中考压轴题的位置比较常见，其主要考查学生联想、猜测、逆向思维、发散思维的能力，以及解决问题的能力.教师在帮助学生分析此类问题时，切忌直接给出辅助线，或者要求学生必须怎样做.数学的思维是有连续性的，数学的方法是有可循性的.解决这类问题要从观察、分析条件入手，当无法继续或者走入“死胡同”时，再从结论入手.先采用猜测的方法得出结论，结论也许不唯一，但一定可以逐一排除，进而确定最可能的结论.如果结论不能简单的被证明，则可以使用特殊位置或者特殊值的方法验证猜想，在猜想正确的基础上，再结合条件和结论进行合情推理.整个解题过程经历了观察、猜测、检验、合情推理的过程，使用了猜测检验的数学方法，前后连贯的使用了顺向思维和逆向思维的统一与结合.

《义务教育数学课程标准（2011年版）》中对数学课程有如下叙述：课程内容要符合学生的认知规律，它不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和蕴涵的数学思想方法.同样，在日常教学中，尤其是进行解题教学时，思维的过程及其分析过程比答案更为重要.