锤炼方案 凝练模型 提炼思维——以“倍增问题”的图式教学为例

□ 张若静

“倍增问题”即我们熟悉的“打电话”问题，是人教版五年级下册的一节综合实践课。在四年级上册的“数学广角”中，教材安排了有关优化思想的学习，让学生尝试在解决问题的多种方案中寻找最优的方案，初步体会运筹思想在实际生活中的应用，为“倍增问题”的教学打下了基础。

在教学调查中笔者发现以下几点问题：第一，打电话的情境设置离学生的现实经验比较远，不利于学生思考方案和建立模型；第二，运用表格进行解题时，要先列表再求解，相当麻烦；第三，学生在建模后的表述仍然不是很清晰，也就是说学生的思维是混乱不清的。

针对这样的问题，笔者对教学进行了以下思考。

一、择优选择情境，对比不同课题

基于学生的生活经验，针对“打电话”情境，学生会考虑现实操作的问题，如怎么知道谁被通知了，谁没有被通知？课堂上最优方案的制定也比较困难。基于这样的学情，笔者没有沿用教材中的情境，而将情境换成学生生活中熟悉的游戏——触碰救人。

问题情境改了，课题就得随着改。之所以选“倍增问题”作为课题，是因为“打电话”这一课题所关注的只是如何解决打电话问题，而“倍增问题”所关注的是具有倍增模式的一系列问题。

“倍增问题”这一课题对学生来说更具数学味。“触碰救人”的游戏情境，既抓住学生的兴趣点，又能更好地激发学生去思考，学生最优方案的制定很轻松，为本节课开了一个好头。两个课题给学生留下的课堂痕迹也不同，“打电话”给学生留下的是一个情境的内容，而“倍增问题”给学生留下的是一个数学模型。

（一）巧用情境，游戏激趣

1.出示游戏，讲解游戏

今天的学习就从老师编的数学游戏开始，什么游戏呢？——触碰救人。你们都是木头人，老师是自由人。如果老师碰一下某个同学，这个同学就被解救了，他也就成为自由人。当然，这个游戏有规则：一次只能解救1位同学。如果1秒钟解救1名同学，老师要尽快解救全班31名同学。你估计至少要多少秒能解救全班同学？此时，学生会异口同声地回答31秒。

2.猜游戏时间

为了让游戏更有意思，增加它的思维含量，我们规定：被解救的人，也可以去解救其他木头人。现在，按这样的规则再去解救全班同学，你觉得要多少秒？学生任意猜想，比较集中的答案是20秒、15秒、7秒。利用学生熟悉的游戏情境，设定游戏规则，通过猜想，初步感知游戏中的数学味。

（二）降阶游戏，化繁为简

如何尽快解救全班31个同学？这个问题还是比较复杂的，因为人数比较多，研究这样的问题，怎么入手会比较好一些呢？教师要引导学生学会化繁为简，从小数据入手，先解救7名同学，这样能有效激发学生寻求解决问题策略的热情。

二、关注学生生成，点拨优化方案

建立模型之前，方案的设计尤为重要。好的方案，能为模型的建立提供事半功倍的效果。

（一）自主探究，设计方案

1.设计方案

同样的游戏先解救7名同学，为这个问题设计

一个方案。

课中，捕捉学生的生成，利用学生的生成为新课的展开排兵布阵。一般学生的生成都不会超过7秒，7秒、6秒、5秒、4秒、3秒的结果都会出来。如下图所示。

图1 7秒的方案

图2 6秒的方案

图3 5秒的方案

图4 4秒的方案

图5 4秒的方案

图6 3秒的方案

2.反馈交流

（1）反馈7秒、6秒、5秒、4秒等方案，同时请设计的同学来摆一摆。学生作品如下：

7秒的方案（秒数在线上）

4秒的方案（秒数在圈圈内）

（2）反馈3秒的方案。

生1用隔线表示被解救的人

生2用个数表示被解救的人

生3用箭头连接被解救的人

生4用阴影表示被解救的人

生5无序完整的解救图

生6无序完整的解救图

3秒的方案很重要，教师可根据反馈及时追问：这幅图中第2秒有几个人去救？第3秒有几个人去救？给学生充分的时间进行方案的设计，静下心来思考解决问题的策略。抓住学生的生成，让反馈的学生上台说一说、摆一摆自己的方案，能非常清晰地展现学生的思维过程。可见，方案的呈现不能只是静态的结果，要有动态的生成过程。

（二）对比优化，锤炼方案

1.对比优化

从中选两个方案进行对比，一个是最优一个不是最优的，探究4秒（或其他几秒）的方案的时间为什么会多了，原因在哪里。从解决问题的方案中寻找“触碰救人”的最优方案，发现事物隐含的规律，为抽象出模型做铺垫。

不优方案

最优方案（不空闲）

2.提炼关键点

想要设计的方案时间最短，最关键的是“不空闲”“不浪费”等。在对比最优方案和不优方案的同时，提炼出关键点“每个自由人都不能空闲”。

三、渗透有序策略，修改理清方案

（一）理解方案，修改方案，画第3秒方案

板书上方案的修改是面向全班的，如果要深入个人，就要放手让学生独自修改方案。在修改方案之前，要先渗透“有序”的思考策略，而有序的方式主要采用箭头线来呈现。在理解第1秒、第2秒分别解救了几个人的基础上，请学生按照句式说一说，使学生的语言表述更清晰，思维更严谨。同时课件动态呈现箭头线辅助理解。按照这样的解救方案，让学生拿出学习单修改方案，同时思考第3秒的解救方案并画一画。通过这样的引导，学生就能轻松驾驭这些自主操作了。

学生修改的作品都挺不错，说明他们将最优化和有序都很好地进行了把控。如下图所示。

修改方案1

修改方案2

修改方案3

修改方案4

在“触碰救人”游戏中，在理解第1秒、第2秒怎么解救的基础上，教师引导学生规范有序地思考作图，同时修改自己原先的方案，画一画第3秒的解救情形，呈现3秒内有层次感的直观图。这样整齐美观的符号图完美地展现了最大限度利用时间的策略，也帮助学生更好地理解了解救7个人至少要3秒，达到了数形结合的效果。

（二）思考第4秒方案，将图式数据化

按照最优的解救策略，让学生思考第4秒的情形。学生不难发现前面有8个自由人，就可以解救8个人，课件随之出示箭头线。

将直观图数据化，形成一条数据线，抽象出模型。因为有直观图做支撑，学生理解数据线上的每个数据都非常轻松。

四、弱化表格模式，提炼数据线模型

在之前的教学中，一旦渗透表格就异常困难，所以教师就试着弱化表格，构造一个让学生掌握起来更方便、更容易上手的模型。如下图的“数据线模型”：

这个线性模型对比表格的优势是：首先，线性的结构更有利于学生内化模型；其次，突出了主干上倍增的数据，使学生易于发现规律；再次，应用起来容易上手，不会像表格那样繁杂，遇到类似的一系列问题都能用这个模型来解决。

运用这样的模型解题，解救全班31个人，学生沿用数据线，很快能得到答案——5秒。继而可以延伸到如果全班是20人要多少秒？18人？15人？……在哪一个范围之内的人数都可以是用5秒？可见，抽象出数据线模型后，学生运用模型来解题就非常容易，同时还学会了寻找5秒能解救的区间数，学会了找起点和终点。

五、演绎倍增奥秘，应用模型解题

除了学生设计的符号图、有序的板书直观图，课中还运用了方格图来演示倍增的过程，给学生带来了强烈的视觉冲击，在学生脑海里留下了生动的、形象的数学模型。

（一）动图演示，发现规律

1.找规律

学生发现的规律：①自由人数都是2倍2倍地增加；②被解救的人数都比自由人数少1，少掉的人是老师；③自由人数和秒数之间的关系：第N秒，自由人数等于N个2相乘的积。

2.倍增动图

课件演示方格图翻倍的现象，揭示这种翻倍的现象，其实就是数学里面要研究的“倍增问题”。

让学生从数据上感悟到翻倍的道理，通过方格图的演示让学生体验倍增惊人的结果，感受到翻倍的视觉震撼，感慨数学的神奇力量。

（二）应用模型，探试规律

1.模型的应用

有了以上各种表征方式的铺垫，让学生应用数据线模型解决解救200人需要多少秒的问题就变得容易多了。学生解题方式如下：

方式一：纯数据线

方式二：纯算式

方式三：数据线和算式相结合

这三种方式，表达形式不同，但思路是相似的，都共通着一样的解题思维——翻倍。有的学生从第1秒开始思考，有的学生比较机灵，借助前一秒的自由人数继续解题，都是值得嘉奖的，都将倍增模型运用得得心应手。

除了求解救200人需要多少秒的练习，还可以继续追问8秒能解救的人数范围是多少，进而思考8秒解救的区间数，让学生的思维迸发达到高潮。

2.生活中的倍增

一个古印度的故事。在一张棋盘的第1个小格内放1粒米，在第2个小格内放2粒，在第3个小格内放4粒，照这样放下去，每一小格内都比前一小格增加了1倍。到第64格时，到底要放多少粒米呢？体验一个小小的1经过不断的倍增，变成了大大的数据，让学生深深感叹倍增神奇的力量。同时，介绍生活当中其他的倍增现象，如：浮萍的生长、细胞的分裂等。让学生知道生活中有很多领域都会运用到倍增的数学规律。

综上，通过斟酌情境、巧妙设计、有序引导，学生建立模型、发现规律、应用规律，都水到渠成。鉴于多方位多角度地演绎，同时提供丰富的内容，构建生动的表象，学生扎实牢固地掌握了倍增模型。数学思想得到了渗透，思维能力得到了培养，核心素养得到了很好的彰显。