数列易错题分析

刘玉

易错点1：求通项公式时，弄错首项致错例1设数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，3an+1=Sn（n∈N*），求数列{an}的通项公式。

错解：由3an+1=Sn，可得3an=Sn-1（n≥2），两式相减可得

所以数列{an}是以1为首项，4/3为公比的等比数列，所以an=。

正解：由上述分析可得，又，所以数列{an}从第二项起是以4/3为公比的等比数列，即首项为，所以当n≥2时，an=。

分析：本题易忽视首项与所有项的整体关系，事实，上，数列{an}从第二项起，以后各项组成等比数列，而{an}不是等比数列，因此等比数列的首项不是an。

易错点2：忽略数列与函数的区别致错

例2设函数f（x）=，若数列{an}满足an=f（n）（n∈N*），且{an}是递增数列，则实数a的取值范围是（）。

A.

B.

C.

D.

错解：因为{an}是递增数列，所以

解得a∈

正解：因为{an}是递增数列，所以

解得2

分析：实际上，数列可以看成是特殊的函数，它的定义域是自然数集，图像是一系列孤立的点，所以该题不能直接按照函数的方法处理。

易错点3：忽略等比数列中的隐含条件致错

例3 已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+λ（λ为常数），试探究{an+λ}是不是等比数列，并求an。

错解：因

正解：

例4 已知等差数列{an}中，a1=2，a1，a2，a3+2成等比数列，则等差数列{an}的前10项和等于____。

错解：设数列{an}的公差为d，由a1，a2，a3+2成等比数列，可得

正解：当d=-2时，a2=0，a1，a2，a3+2不能构成等比数列，故

分析：两题的易错点相同，同学们易忽略等比数列中的隐含条件“各项均不为0”，做题时要注意检验。

例5 已知数列{an}满足an=0，an+1=npn+an，求数列{an}的通项公式。

错解：

正解：

分析：本題p=0时，{an}是各项均为0的常数列，而p≠0时，在利用错位相减乘公比时，公比不能为1，因此要讨论p=0，p=1，p≠0且p≠1三种情况。

易错点4：忽略数列的定义域是正整数集致错

例6 已知各项都为正数的等比数列{an}满足a7=a6+2a5，若存在两项am，an，使得，则的最小值为（）。

A.

B.

C.

D.

错解：依题意可得a5q2=a5q+2a5，所以q2-q-2=0，所以q=2。

正解：上式当且仅当

分析：数列的定义域是正整数集，不能取分数，在利用基本不等式时要注意检验等号成立的条件是否满足。