积分中换元法的教学认识

马忠莲

【摘要】第一换元积分法和第二换元积分法是求解函数不定积分非常重要的两种思想和方法.本文探讨出求积分中应用换元积分法的基本思路是函数化为变量或变量化为函数，强调这个基本思路是学生深刻理解和有效应用换元积分法的关键，是培养学生应用换元积分法的意识，并能较快区分使用第一换元积分法与第二换元积分法，使之灵活应用的关键.

【关键词】积分;第一换元;第二换元;本质

换元积分法是最常用的求积分方法，在此内容的教学过程中，“数学分析”或“高等数学”都用了大量的篇幅来讲解换元积分法，教师也会在这个地方花费很多时间来讲解该内容，实践证明学生对换元积分法的理解与把握是存在很大难度的.主要表现在学生对换元思想的理解处于片段式理解，沒能抓住第一、第二换元方法的实质，故而感觉内容多、方法多而难快速、准确地把握和应用.传统教研中，利用这两种方法无论是在思考问题的思路上，还是在适合解决问题的分类上都区分得很清楚，这种清楚的区分导致换元法在积分中的应用复杂多变，不易找到变化的基本思路和本质，不易灵活应用换元积分法.笔者认为要解决换元积分法的教学难题，做到快而准地理解应用换元积分法是引导学生领会换元的基本规律与道理，强调并让学生紧紧抓住函数化为变量或变量化为函数.

无论是第一换元积分法还是第二换元积分法其基本规律与道理是：函数化为变量或变量化为函数.在讲授该内容时，若将第一换元和第二换元割裂来讲，不但学生在把握第一换元有难度，到学习第二换元法时几乎是要耗费很大的精力，掌握的效果也不一定好.实践证明、强调掌握两种换元基本规律与道理：函数化为变量或变量化为函数是把握换元积分法的最有效方法.

对比定理一和定理二，教学中强调两种换元方法其实质就是函数和变量的互换，可表为：函数变量.无论是第一换元法从左到右，第二换元从右到左，目的都是能用基本四则运算、10组积分公式和一些数学基本常用转化公式求出积分.教学中没有必要去刻意区分第一换元与第二换元.[2]

对比例1和例2可见两个换元积分法没有必要去强调区分出来，根据题目需要，或把函数转化为变量，还是把变量转化为函数，其目的都是解决实际问题.只要具备了第一换元法和第二换元法的基本思想：函数化为变量或变量化为函数，就能迅速有效地应用两种换元.以往的教学模式把两种换元割裂教学实质是增加了问题的复杂性.实践证明，在教学中抓住两种换元的本质是通过函数化为变量或变量化为函数，来改变积分的形态，从而达到能充分地运用四则运算和10组积分基本公式和其他数学常用公式来求解，理解、掌握该思想方法是学习把握求解积分的有效方法.

定积分的所有做法和不定积分一一对应.

该题就是应用了第一换元化函数为变量，使得无理函数转化成了有理函数来求解.

教学中需要引导学生体会解决问题的方法：有化烦琐为简单的第一换元法，也有化简单量为复杂结构的第二换元法.其思想方法都是利用转换：函数变量，或是函数变量，或是变量函数，目的都是用已知探求未知.通过应用已知的积分10组公式和四则运算，或是已知的常用基本数学公式探求出未知的、复杂的不定积分.

【参考文献】

[1]毕力格图，常桂花.关于换元积分法的探究[J].绥化学院学报，2006（4）：164-165.

[2]刘玉琏，傅沛仁.数学分析讲义.上册（第五版）[M].北京：人民教育出版社，2008.

[3]侯风波.高等数学（第四版）练习册[M].北京：高等教育出版社，2014.

[4]林娇燕.换元法求定积分的巧用[J].当代教育理论与实践，2017（8）：34-36.