图形变换思想在初中数学教学中的渗透研究

任志燕

[摘  要] 在初中数学教学中，图形变换思想能够帮助学生理解图形内涵，发现图形规律，寻找解题突破口，是数学教学的重要环节. 这就要求我们在教学中，以现有几何知识为载体，有意识地向学生渗透图形变换思想，提高学生的解题思维. 文章結合教材几何部分的教学内容，就图形变换思想在数学教学中的渗透情况进行了简要的分析说明，为教师的几何教学提供参考.

[关键词] 图形变换;初中数学;几何;渗透

图形变换思想是数学中的一种重要思想方法，在初中平面几何教学中，有意识地向学生渗透图形变换思想，能够帮助学生发现图形之间的本质联系，促进学生思维的发展. 《数学课程标准》明确提出了对图形变换掌握的要求，另外，从近几年中考数学试题来看，图形变换成为中考试题的压轴题型，几何变换正逐渐成为几何学习的热点.

图形变换思想是借助运动和变化的观点去研究几何对象相互之间的关系，观察目标图形在哪些数量和关系上出现了变化，在哪些数量和关系上没有发生变化，从而揭示其中的规律. 图形变换思想就是通过对图形的变化，将复杂的不规则图形变为简单的规则图形，这是解决几何问题的一种重要思路[1]. 在初中数学教学中，有意识地向学生渗透几何变换思想，不仅能够帮助学生加深对数学知识的理解，还能够提高学生的数学解题能力.

图形变换思想的渗透不是几节专题课就能够讲明白的，而是要借助教材中的多个教学内容来完成渗透，这就要求教师平时要认真研究教材，设置相应的渗透方案. 例如，在垂线定理部分，利用直线旋转90°的方式去定义垂线，体现了旋转变换的思想;在三角形内角和等于180°的教学中，通过平移、旋转将三个内角转化为一个平角，体现了变换的思想. 又如在全等三角形的判定定理部分，通过运动平移、叠合两个三角形来证明判定定理的正确性;在直角三角形定理部分的教学中，将线段绕某一端点旋转90°，连接另一端点和起始位置与中点的任意一点，所得到的图形必定为直角三角形;在平行四边形性质定理部分的教学中，将平行四边形旋转180°能够与原图形相重合，就可以得到对角、对边的关系，从而体现了旋转变换的思想;在垂径定理部分的教学中，利用圆的轴对称性发现垂径定理，渗透翻折变换思想等[2].

1. 借助生活实例进行几何变换思想渗透

图形变换思想都是通过实际生活中的物体运动抽象出来的，教师在数学教学中向学生渗透这一思想时，可以从学生熟悉的生活实例出发，这样更加接近学生的认知，有助于学生更好地抽象概念. 例如，在平移概念的引入部分，教师就可以选择用推拉门的生活实例，这样能够促进学生对长方形平移运动数学模型的思考. 对于三种运动形式的变换思想也可以通过以下问题引出来：

如图1所示，长方形花坛ABCD的长和宽分别为a米和b米，在花坛中有一条宽为x米的小路，除小路以外全部种上花朵，求要种花的部分土地的面积.

2. 借助几何画板进行几何变换思想渗透

几何画板的使用，给数学几何教学带来了方便. 借助几何画板，能够将静态的几何图形变为动态的几何图形，便于学生理解，尤其是学生在理解平移、旋转、翻折等图形变换知识时，更是可以起到事半功倍的效果. 例如下面这一问题：

学生在解决这一问题的时候面临着较大的困难，并没有将旋转的思想运用上，依然是通过三角形的形状去寻找对应位置. 这时，教师就可以利用几何画板中的轨迹跟踪点的功能，演示B点和D点的运动轨迹，帮助学生理解几何变换的过程，提高学生应用几何变换思想解决问题的能力，如图2所示.

3. 借助变式作图进行几何变换思想渗透

学生在初中阶段开始接触平移、旋转、翻折等运动的定义和性质，但是思维水平还没有达到理解应用的程度，教师可以通过变式作图的方式帮助学生加深对该部分知识的理解. 首先，可以通过位置变换的变式帮助学生理解图形的旋转变换. 如图3所示，它们分别是以A为顶点进行旋转，旋转后图形的顶点到中心点的距离就是该三角形的边长;图4的旋转中心在AC上，那么A和C点到中心点的距离为OA和OC.

通过这样的变式作图，可以准确了解学生对旋转性质、旋转角的意义和作图方式的掌握情况.

学中的渗透实例

1. 平移变换思想在初中数学教学中的渗透

在平行线部分的教学中，教师可以通过实验几何的方式设计教学：已知直线l，请同学们利用手中的直尺画一条与之平行的直线. （引导学生利用三角板的不同角与直尺相对，完成画图，如图5～图7）

学生在小学阶段就学会了作图，这样的图形操作他们可以独立完成，教师需要做的就是利用几何作图语言加以描述. 在具体操作过程中，利用三角板的一个角沿着直尺前后移动，得到两个相等的对应角，从而得出一对同位角，这样就构成了两条平行线. 学生在操作中通过变换不同度数的角，发现不论对应角选择多少度，最终目的都是要构造一对同位角，从而得出了平行线的判定，也对平移变换的思想加深了认识.

2. 翻折变换思想在初中数学教学中的渗透

在三角形部分的教学中，教师在对等腰三角形性质部分进行教学时，可以通过翻折运动引入，以操作实验的形式进行教学. 例如：先引导学生观察等腰三角形是否是轴对称图形，寻找它的对称轴. 然后，沿着对称轴进行翻折，会发现等腰三角形两条边、两个对应角、对应点等会重合到一起，向学生提出问题：为什么它们会重合到一起呢？此时，教师提示学生并展示折纸过程. 另外，在学习等腰梯形的时候，证明等腰梯形的轴对称性对学生来说有一定的难度，教师可以引入翻折思想，通过剪一剪、折一折来探究等腰梯形的轴对称性. 例如：通过刚才的操作，我们证明了等腰三角形的轴对称性，下面我们就来证明一下等腰梯形的轴对称性质. 首先请同学们剪出一个等腰三角形，然后在这个等腰三角形的基础上剪出等腰梯形. 期间引导学生思考，如何才能够剪出等腰梯形. 剪出等腰梯形后，将等腰梯形进行翻折，观察翻折后的结果. 最后，引导学生将自己观察到的结果和操作过程用图形语言和符号语言描述出来，并论证这一结果，如图8～图10.

3. 旋转变换思想在初中数学教学中的渗透

在四边形部分的教学中，为了让学生学习平行四边形的相关知识，教师采用在三角形基础上构造对角线，利用全等的方式来得出平行四边形. 这种方法是几何教学中常用的方法，学生虽然能够记住相关的知识，但是对于图形变换背后的中心对称思想却不清楚. 为了能够帮助学生直观地探究平行四边形的中心对称性，就可以通过渗透旋转变换的思想来实现. 例如，让学生将平行四边形行旋转180°，通过围绕对角线的交点进行旋转，发现旋转后的图形会和旋转前的图形相重合，然后仔细观察还有哪些相等的数量关系. 进而教师就可以引导学生总结出平行四边形的性质1、性质2和性质3.

小结

图形变换思想是初中数学教学中一种重要的数学思想，其中的平移、旋转、翻折运动更是很多数学压轴题包含的重要数学思想，也是学生解决这类几何问题的关键. 在初中数学几何教学中，有意识地向学生渗透图形变换的思想，能够帮助学生理解图形的本质，解决图形问题，同时，还能够发展学生思维，提高学生解决几何问题的能力.

参考文献：

[1]胡松. 以“数学素养”导引数学活动——《几何图形》教学实录与思考[J]. 数学通报，2017（1）.

[2]范登宸，刘运河. 让立体几何图形动起来——介绍一种应用《几何画板》软件实现空间图形直观图旋转的方法[J]. 数学通报，1999（2）.