求解函数f（x）=A sin（ωx+φ）初相的六种方法

江苏省姜堰第二中学 翟爱国

求初相是学习函数f（x）=A sin（ωx+φ）中的一个难点，也是确定函数解析式的重要步骤，许多同学由于掌握不住确定φ的有效方法致使解题出错．如何求初相？本文介绍六种方法，供同学们参考．

一、五点法

“五点法”作图时，要抓住五个关键点，使函数式中的ωx+φ取通过列表作出函数的图象．由方程的思想可知，利用“五点法”来确定初相φ，即在五点中找到两个特殊点列出方程组解出φ．

例1函数f（x）=A sin（ωx+φ）（其中的图象如图1所示，求φ的值．

图1

由五点法求φ时，要分清所选择的点是“五点法”的第几个点，并能正确列式求解．

二、初始点法

这里把“五点法”中的第一零点叫初始点．如果函数图象提供了初始点的坐标，又能根据周期求出ω，利用初始点坐标x0代入ωx0+φ=2kπ，k∈N即可求出φ．

例2如图2，是函数y=A sin（ωx+图象的一部分，求φ的值．

图2

如果从图象可确定振幅和周期，则可直接确定函数y=A sin（ωx+φ）中的参数A和ω，再寻找“五点法”中的第一个点（即图象上升时与x轴的交点）为突破口．

三、图象平移

先确定函数的基本函数y=A sinωx，根据图象平移规律就可以确定相关的参数．

例3如图3，是函数y=A sin（ωx+的一段图象，求φ的值．

图3

如果图象给定的点是五个关键点中的非最值点，则可以通过平移法来确定，平移时要注意法则“左加右减”．

四、利用最值点

对于函数y=A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0），当时，y取最大值；当时，y取最小值．

例4如图4，是函数y=A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的一段图象，由图中条件，求出φ的值．

图4

如果图象给定的点是五个关键点的最值点，则可以代入最值点坐标来确定，若题目对φ有范围限制，则可以选取适当的k来确定φ的值．

五、利用单调性

我们知道，已知三角函数值求角，在一个周期内一般有两个解，我们可在一个限定的范围内利用函数的单调性求出其唯一解．

例5函数y=2sin（2x+φ）（|φ|＜π）的图象如图5所示，求φ的值．

图5

如果图象给定的点不是五个关键点中的任何一个，则此时可以考虑利用三角函数的单调区间来确定；如果图象上只有平衡点（与x轴的交点）时，这时要分清平衡点（与x轴的交点）是在递增的一段图象上还是在递减的一段图象上，即观察图象的走势．总之，既要思考所过点，又要思考点所在的单调区间，整体处理解出初相角．

六、利用对称性

函数y=A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象既是轴对称图形又是中心对称图形时，可以根据它的对称轴和对称中心与φ的关系，求出φ的值．

例6设函数f（x）=sin（2x+φ）（-π＜φ＜0）的图象关于直线对称，求φ的值．

解析 函数f（x）=sin（2x+φ）（-π＜φ＜0）的图象关于直线对称，即直线是f（x）=sin（2x+φ）的一条对称轴，那么我们可以知道当时，函数f（x）=sin（2x+φ）取得最大值或最小值，把代入有所以又因为-π＜φ＜0，故．

同学们，上面介绍破解初相的六种方法，其实这些方法不是彼此孤立的，而是互相有关联的．如果能把每一道题多角度思考，举一反三，一定能融会贯通，受益匪浅．