欣赏数学的真、善、美——以高考中的数学文化为例

华东师范大学第二附属中学 任念兵

数学文化是国家文化素质教育的重要组成部分，高考数学考纲的一个重大变化就是明确提出要加大数学文化的考查力度．有关高考中的数学文化的研究，目前正呈现如火如荼之态．值得关注的倾向是，目前的相关研究常常泛化数学文化的内涵，甚至将所有考查数学能力的高考题都纳入数学文化的范畴，如此就显得“数学文化”早就在高考中占有重要地位了，何来考纲中提出的“变化”？所以，需要正本清源，明确高考中的数学文化的内涵，有针对性地进行扎实稳妥的高考复习．

教育部考试中心陈昂、任子朝认为，数学文化的最主要内涵是一种理性思维方式在实践过程中的不断探索，形成的数学史、数学精神及其应用．数学具有真、善、美三个层次的表现力，数学文化应包含对数学的科学性和理性精神的认同，对数学的价值和功用的肯定，对数学的艺术性的感悟．高考中的数学文化试题，是以数学史作为试题背景，主要包括数学家生平故事、数学史事件、数学名著等，通过创设新的情境、改变设问方式等多种方法欣赏数学的真、善、美．在渗透数学文化的同时，高考题特别注重与数学知识的有机结合，着重体现数学文化素材中理性思维的本质内涵．

高考中的数学文化试题，从试题背景看，其主要类型有涉及数学史料中的古算题、数学名题、数学家人物及优秀成果、数学与其他学科的文化联系等．从试题的具体内容看，可以分为数学发展史（或数学名著）上的经典问题（如阿波罗尼斯圆、米勒问题等）、重要结论（如杨辉三角、祖暅原理等）、重要思想方法（如算法思想、极限思想等）三个层次．从问题呈现方式看，可以分为显性和隐性两种形式，前者直接给出数学文化背景作为试题的情景或者引子，解答与背景基本无关，后者则不直接给出背景，而是隐含考查与数学文化相关的知识和思想方法．从试题难度看，欣赏数学之美、数学之善（应用价值）的试题较易，欣赏数学之真（理性精神）的试题较难；以显性背景呈现的试题较易，隐含数学文化背景的试题较难．

一、欣赏数学之真

图1

例1（上海卷）在x Oy平面上，将两个半圆弧（x-1）2+y2=1（x≥1）和（x-3）2+y2=1（x≥3）、两条直线y=1和y=-1围成的封闭图形记为D，如图1中阴影部分．记D绕y轴旋转一周而成的几何体为Ω，过（0，y）（|y|≤1）作Ω的水平截面，所得截面面积为试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出Ω的体积值为 ．

解 根据提示，一个半径为1，高为2π的圆柱平放，一个高为2，底面面积为8π的长方体，这两个几何体与Ω放在一起，根据祖暅原理，每个平行水平面的截面面积都相等，故它们的体积相等，即Ω的体积值为π·12·2π+2·8π=2π2+16π．

例2（上海闵行区一模）我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为和则是x的更为精确的不足近似值或过剩近似值．我们知道π=3．141 59…，若令则第一次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即若每次都取最简分数，那么第四次用“调日法”后可得π的近似分数为________．

点评 例1考查祖暅原理的灵活运用，由于祖暅原理是教材中的内容，因此在试题中不再复述；例2则以阅读材料的形式介绍“调日法”，考查即时学习能力，让学生体会我国古代数学的精髓——算法思想．无论是显性还是隐性呈现数学文化背景，在高考题中欣赏数学之真，关键是领悟数学文化背景下的重要原理（如祖暅原理为求体积的依据）、重要思想方法（如调日法所反映的算法思想）中所表现出来的数学理性精神．

二、欣赏数学之善

例3（湖北卷）一种作图工具如图2所示．O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆M N通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DN=ON=1，MN=3．当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕O转动一周（D不动时，N也不动），M处的笔尖画出的曲线记为C．以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图3所示的平面直角坐标系．

图2

图3

（1）求曲线C的方程；（2）略．

解 （1）设 点D（t，0）（|t|≤2），N（x0，y0），M（x，y），依题意，且所以（t-x，-y）=2（x0-t，y0），且即且t（t-2x0）=0．由于当点D不动时，点N也不动，所以t不恒等于0，于是t=2x0，故．代入可得即所求的曲线C的方程为

例4（上海黄浦区二模）如果一条信息有n（n＞1，n∈N）种可能的情形（各种情形之间互不相容），且这些情形发生的概率分别为p1，p2，…，pn，则称H=f（p1）+f（p2）+…+f（pn）（其中f（x）=-x logax，x∈（0，1））为该条信息的信息熵．已知．

（1）若某班共有32名学生，通过随机抽签的方式选一名学生参加某项活动，试求“谁被选中”的信息熵的大小；

（2）若某次比赛共有n位选手（分别记为A1，A2，…，An）参加，选手Ak（k=1，2，…，n-1）获得冠军的概率为2-k，求“谁获得冠军”的信息熵H关于n的表达式．

即“谁被选中”的信息熵为5．

（2）An获得冠军的概率为，

当k=1，2，…，n-1时，f（pk）=，

点评 例1是基于荷兰数学家舒腾设计的机械椭圆规命制的，这是椭圆方程知识的实际应用的例证，至于圆锥曲线知识在天文、航海等方面的应用更是不胜枚举，而这些实际问题正是推动解析几何思想萌芽和发展的原始动力．例2则是以信息论的基本概念为背景的，1948年克劳德·香农创立了数学信息论，用对数来刻画信息量的概念．在看起来“没有数学问题”的地方发现数学问题，并通过相应的数学模型解决问题，乃是数学之善的深刻表现．

三、欣赏数学之美

例5（全国Ⅰ卷）如图4，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）

图4

解 设正方形边长为a，由图形的对称性知，太极图中黑白部分的面积相等，均为圆面积的一半，故所求概率为选B．

点评 例5考查了图形的对称性，而数学概念、定理、公式本身的形式之美，正体现在对称、统一、简洁、奇异等方面，欣赏数学之美、享受数学文化的熏陶也是素质教育的重要环节．

最后，回到日常学习和高三复习中，我们应该重视教材中隐含的数学文化素材．许多高考数学文化题都来源于教材，比如“阿波罗尼斯圆”“三角形数”“割圆术”等均出现在高中数学教材中．保持旺盛的求知欲望，凡事问个“为什么”，钻研教材、延伸阅读，是应对高考数学文化题的基本策略．