基于超宽带测距的定位精度及时延的研究*

徐会彬,孙树芳

(1.湖州师范学院信息工程学院,浙江 湖州 313000;2.郑州大学测绘工程系,郑州 450000)

超宽带UWB(Ultra-WideBand)技术起于20世纪60年代。当时仅限于军事领域的定位、目标跟踪。于2002年,FCC批准将UWB技术扩展至民用[1]。由于UWB信号的传输率高、多径分辨率强等优势,它广泛应用于短距离无线定位应用[2-3]。

位置信息是如今基于位置感知应用的一个必不可少的部分[4]。尽管全球导航卫星系统GNSS(Global Navigation Satellite System)能够在多数环境下提供位置信息,但是它在弱信号环境下性能较差,如室内环境。

而基于UWB测距定位正好弥补了GNSS的不足。依据双向到达时间差TW-TOA(Two-Way Time Of Arrival)测距[5],UWB具有可靠、高的测距精度,给节点定位提供有用的数据。如何提高无线定位精度已成为科学界的一个研究热点。提高定位精度的通常策略是:增强测距精度;使用更多的锚节点;提高传输功率;扩大协作范围。这些策略旨在提高定位精度。

然而,在实际应用中,定位精度固然重要,但是定位成本不容忽略,如定时时延。定时时延包括接入媒介的接入时延。基于IEEE 802.15.4a的时分多址接入TDMA(Time Division Multiple Access)技术是常用的媒介接入策略。通过给节点分配时隙,使节点有序地依据所分配的时隙接入信道,避免接入碰撞。

为此,本文分析定位精度与时延关系。首先,依据TW-TOA测距,并建立测距模型,然后依据观察值估计节点位置和时延。再推导定位精度与时延间关系。同时,考虑协作和非协作模式下的定位精度与时延间关系,并分析节点数对定位精度和时延的影响。

1 系统模型

1.1 测距模型

考虑由m个锚节点和n个定位节点组成的无线网络。其中锚节点位置已知,而定位节点位置未知。将锚节点和定位节点统称为节点。令xi=[xiyi]T表示第i个节点的位置,且i=1,2,…,m+n。

本文考虑两类UWB测量[6]:双向时间到达TW-TOA(Two-Way Time of Arrival)和窃听,如图1所示。

图1 基于TW-TOA测距

在TW-TOA测距中,节点i向节点j发送请求。当节点j接收请求后,节点j就回复确认消息。令Ni表示节点i的邻居节点集,其定义如式(1)所示:

Ni={j≠i:dij≤R}

(1)

式中:dij表示节点i与节点j间欧式距离,且dij=‖xi-xj‖。R为节点的通信半径。

令Sa、Sp分别表示锚节点集、定位节点集。若满足:j∈Sa∪Sp,则网络是协作的;若节点j只属于锚节点,即j∈Sa,则网络是非协作的。无论协作还是非协作,节点i向节点j均估计请求消息和确认消息的TOA值。

锚节点i引用自己与节点j的往返时延估计它们间的距离。假定锚节点i在时刻ti广播测距信号,节点j接收了此信号,所获取的测量值可表示为[7]:

zij=γi+dij+αj+wij,i≠j

(2)

式中:wij～N(0,σ2)属噪声变量。而γi=ct,其中c为信号传播速度,t为信号传输时间。而αj表示节点j所经历的时钟偏差。

令zi表示网络内所有节点所观察节点i的信号:

zi=[zi1,zi2,…,zik,…,ziA]

(3)

若A=m,表示非协作定位;若A=m+n,表示协作定位。将未知参数构成一个集合ε:

ε=[xTγTαT]

(4)

2 定位精度-时延的优化

2.1 时延

用通信图G=(V,E)表述网络,其中V表示顶点集(节点)、E表示边集。由于一些链路需要安排多个时隙,将图G扩展新的图G′=(V′,E′)。图2显示了扩展图,其中链路(1,4)要求两个时隙[8]。

图2 扩展图G′中的子图

令A表示图G′的对称邻近矩阵,且Aij=1,∀(i,j)∈E′。此外,引入对称调动矩阵S。如果此链路(i,j)被安排了TW-TOA,则Sij=1,否则Sij=0。

由于给G′内链路分配时隙属于NP-完全问题[9]。为此,求解给S内链路分配TDMA时隙的下限Υ和上限Ω。

时延上限就是网络内所有链路数,即Ω=(1TS1)/2,其中1表示单位矢量。而下限Υ就是Δ,即Υ=Δ,其中Δ表示最大S度。最终,每次测距时延D=(Ω+Υ)/2。

2.2 定位精度

(5)

式中:Jx是x的费舍尔信息矩阵FIM(Fisher Information Matrix)。为了对x进行降维,引用等效FIM(Equivalent FIM,EFIM)[11]。

将EFIM引入本文。先构成以ε为主体的FIM:

(6)

再将J(ε)转化为EFIM形式,如式(7)所示:

JE(x)=Φ(x,x)-ΨH-1ΨT

(7)

式中:Ψ=[Φ(x,γ),Φ(x,α)]。而H为一个矩阵:

(8)

而JE(x)的结构如式(9)所示:

(9)

最后,通过JE(x)推导定位精度下限,并利用定位误差下限PEL(Positioning Error Lower)表述定位精度:

(10)

对于定位节点k,且k=1,…,n,它的定位误差下限表示为ρk:

(11)

2.3 优化参数

标度律SLS(Scaling Laws)取决于定位节点数n随锚节点数m的变化率。为了能够规范地优化定位精度与时延间关系,定义一个模型[7]:

n=κmλ

(12)

式中:λ相对锚节点增长率,而κ>0。通过n=κmλ模型表征定位节点数随锚节点数增长的变化关系,进而形成定位精度与时延的优化参数β(λ)。

依据n=κmλ,定位误差下限的比例表示为ρ∈O[fρ(m,λ)]。而时延比例表示为D∈O[fD(m,λ)]。因此,β(λ)可表示为:

(13)

依据式(13),时延-定位精度的优化参数β(λ)可理解成:在对数标度范围内,定位精度随时延的变化情况。因此,β(λ)越大,定位精度随时延增加而下降的速度更快。

3 数据分析

3.1 实验环境

为了更好地分析时延与定位精度间的关系,引用MATLAB软件建立仿真平台。考虑20 m×20 m的区域。依据文献[12]的网络拓扑结构,部署锚节点。而定位节点随机分布于20 m×20 m。且定位节点的位置服从高斯分布。

此外,测距标准方差为2 cm。TDMA时隙为20 ms。并利用P400 超宽带无线电UWB(Ultra-Wide Bandwidth)进行测距。

考虑两个场景:①非协作;②协作。并分别分析这两个场景下定位误差下限和时延的性能。同时考虑,锚节点数、定位节点数对这两个性能的影响。

3.2 定位误差下限

首先,分析锚节点数和定位节点数对定位误差下限PEL的影响,如图3、图4所示。

图3 定位误差下限随锚节点数的变化情况

图4 定位误差下限随定位节点数的变化情况

图3显示了锚节点数对定位误差下限的影响,其中锚节点数从1变化至10,定位节点数为10个。从图3可知,锚节点数的增加,降低了PEL。原因在于:锚节点数越多,每个定位节点获取的信息越多,这越有利于测距精度。相比于非协作模式,协作模式的PEL更低。

图4显示了定位节点数对PEL的影响,其中定位节点数从1变化至20,锚节点数为3个。从图4可知,在非协作模式下,定位节点数的增加对PEL并没有影响。但是,在协作模式下,定位节点数的增加迅速降低定位误差。此外,相比于非协作模式,协作模式下的PEL得到有效地下降。例如,在定位节点数为16时,非协作模式下的PEL约0.018 m;而协作模式下的PEL约0.007 m。

3.3 时延

本小节分析时延随锚节点数和定位节点数的影响,如图5、图6所示。

图5 时延随锚节点数变化情况

图6 时延随定位节点数的变化情况

图5显示了时延随锚节点数的变化情况,其中定位节点数为10个。从图5可知,协作模式下的时延远高于非协作模式下的时延,增加近2 s时延,例如,当锚节点增加至10,协作模式下的时延增加至3.8 s。原因在于:协作模式下要获取更多的测距信息,这必然增加了处理数据的时延。此外,锚节点的增加,也提高了时延。

图6显示了定位节点数对时延的变化情况,其中锚节点数为3个。从图6可知,时延随定位节点数增加而上升。与协作模式相比,非协作模式的时延较低,并且随定位节点数的增长速度缓慢。

4 总结

位置估计是无线网络应用的基础。为此,本文基于UWB测距,并通过TW-TOA进行测距,再建立测距模型。随后,推导了关于锚节点数和定位节点数的定位精度和时延的表达式,同时引入权衡参数,分析定位精度与时延的关系。最后,通过数据分析了锚节点数和定位节点数对定位精度、时延的影响。