光学小卫星仿水母构型轻量化结构研究

谷 松，李军瑶，陈善搏

(1.中国科学院长春光学精密机械与物理研究所，长春 130033；2.中国科学院大学，北京 100039； 3.长光卫星技术有限公司，长春 130013)

小卫星发射成本占总成本的30%～40%，发射费用需要每千克2万～4万美元。为有效控制成本，设计者需要严格控制小卫星体积和质量，特别是结构的质量[1-4]。目前，常用的结构优化包括拓扑优化、形状优化、尺寸优化和材料优化。杨德庆等[5]采用二次规划方法对卫星肼瓶支架截面尺寸进行了优化设计；郑侃等[6]提出了一种新型的近似模型管理框架对卫星主承力结构进行了多目标优化设计；谭陆洋等[7]优化了蜂窝夹层板铺层方式；陈婧等[8]利用Nastran软件对卫星尺寸和材料进行了优化，实现结构轻量化。

与一般优化方式不同的是Naoko等[9]通过研究有孔虫形态，提出一种空间系统多面体模块构型和相应的几何装配规则，通过折叠天线极大降低了结构质量和占用体积。日本成功部署的JAXA 发射工程测试卫星( ETS-VIII)和射电天文卫星( ASTRO-G)同样基于这种多面体模块化结构思想。

充分利用材料的性能优化构型也可以实现轻量化的效果。为了缩短研发周期，本文同样采用仿生设计的方法对卫星构型进行优化。在自然界中，深海浮游生物与卫星有许多相似之处。首先，在深海环境中浮力与重力相互抵消，和卫星几乎不受重力在力学条件上相似；其次，浮游生物从深海到浅海重力缓释过程与卫星从地面发射到外太空也有异曲同工之处；最后，就形态而言，从自由边界的角度看，浮游生物运动形态和卫星太阳能帆板展开上是一样的。因此浮生生物的形态对卫星构型优化具有参考价值。

在所有浮游生物中，海月水母呈钟形，内部空间空阔且比表面积较大，封闭造型有利于节省物料降低质量，形态多变，可重复设计性强。本文通过研究海月水母的自然形态并提取其数学模型，设计出适用于卫星的可重复性轻巧构型，以满足卫星结构轻量化日益增长的需求。

1 形态仿生设计

形态仿生设计是以自然中的素材为基础，通过研究自然形态的特征、特点，对自然形态的整体或局部运用提炼、夸张、减弱、变化、归纳等手法，使造型脱离自然形态，最终应用到产品设计当中[10]。本文对卫星结构的设计就是通过分析生物形态的合理性和稳定性，依据生物形态改变卫星的构型实现仿生设计。

1.1 数学模型

海月水母体为圆盘状，无色透明，直径为10～40 cm，身体中水的含量达98%，水母体由外伞、内伞、口腕和胃囊4部分组成[11]。海月水母构型具有质量轻、体积小的优点[12]。本文仅考虑水母外形，以外伞作为研究对象，建立数学模型。

图1 海月水母的生长模型图

为验证该数学模型的合理性，设置合理参数，对比生长模型和实物。图2为模型结果和海月水母实物图片对比。以下为参数设置：图2d中θ=95°，h=400，r=800；图2e中θ=90°，h=600，r=800；图2f中θ=130°，h=400，r=800。

图2 海月水母(a、b、c)和数学模型(d、e、f)对比图

可以发现，数学模型实现了与水母形态相似的生长形式，可用此数学模型进行下一步研究。为保证卫星底部有足够安装面积，一般取θ=90°进行设计。

1.2 理论分析

应用曲面结构主要考虑结构的稳定性和基础频率。薄壳失稳全分析过程描述需要用动力学方程。动力学方程为

(1)

先利用静力学方法求解载荷与变位之间的关系，可描述为

[K]{δ}={P}

(2)

式(2)中，[K]为几何系统的刚度矩阵，{δ}为位移向量，{P}为激励载荷向量。在静力学描述的基础上考虑振动效果，各平衡位置上加设幅值很小的振动，求解方程为

(3)

振动过程中系统为无阻尼振动，阻尼矩阵[C]为零矩阵。瞬时平衡位置的自由振动方程和特征方程式

(4)

式(4)中ω为系统的特征值，其余各矩阵代表含义与上同。经过正交变换后可得在整体坐标系下表达式为

(5)

[M]=[M0]+[Mp]

(6)

式(6)中[M0]为系统原本的质量矩阵，[Mp]为瞬时动载作用等效的质量矩阵。系统总合成质量矩阵随着动载大小方向变化而变化。当动载荷加速度量级不断增大，瞬时动载等效质量矩阵越大。将叠加后的质量矩阵代入原系统中得到

(7)

质量矩阵的变化表征为外加载重的增加，也可以看作是系统本身质量的缺失。刚度矩阵[Kω]中与之对应的值也随之降低，即刚度矩阵[Kω]对角元素中一些值不断降低，甚至趋于零。

根据公式(1)～(7)表征结果，认为在动载作用下影响结构稳定性的主要原因有两个：一是随着系统刚度下降和过载的增加，系统内部附加质量对系统造成的破坏;二是由于刚度下降导致系统的基础频率也随之下降，系统和外部激励间产生共振而产生破坏。

表征结构的初始稳定性一般使用结构的基础频率来说明，结构的基础频率通过动力学方程可以得到

fn=ωl/2π,{ωl}=([K]/[M])1/2

(8)

式(8)中ωl为圆频率，[K]为结构刚度矩阵，[M]为结构质量矩阵。

依据虚功原理推出刚度方程为

(9)

式(9)中[B]为单元应变矩阵，[D]为材料相关的弹性矩阵。结构性能主要受刚度影响，而刚度则与质量分布有关。本文使用曲面结构以期望通过改变动载传递路径和效果，达到充分利用材料性能的目的。依靠平滑的过渡方式，减少了局部缺陷的产生，减少断点与连接。

图3是将曲面结构简化成曲线，并将曲线利用有限元的方法，用两根二力杆来近似代替。载荷在传递的过程中，距离受力点越远的地方，二力杆与水平方向夹角越小，载荷分解后垂直于杆的力越小，产生的力矩减小使得杆垂直方向的应变减小。通过分化变形效果，充分利用材料的抗压和抗弯的能力来减小整体变形量。

图3 曲面结构受力分析图

在弹性系统中，衡量一个系统的刚度可以用

[K]={F}/[δ][K]={F}/[δ]

(10)

式(10)中[K]为系统刚度矩阵，{F}为外载荷，[δ]为系统变形量矩阵。同等载荷作用下变形量变小，说明改变构型加强了结构的刚度。依据这个原理，将卫星构型仿照水母形态设计成椭球薄壳构型，以更好的稳定性和封闭造型减少其他冗余设计，实现轻量化。

2 算例验证

2.1 布局分析

某光学小卫星的主载荷是同轴三反光学相机。推进系统位于星体上端，卫星帆板使用薄膜式柔性太阳翼[13]紧贴壳体。相机和推进系统通过3个埋件与主结构连接，星敏和陀螺仪安装在相机主背板上。壳体使用厚度为1 mm、型号为T700的碳纤维材料，底部承力结构使用厚20 mm的蜂窝板，综合电箱、蓄电池和相控阵天线等单机与蜂窝底板直接相连。整星布局和构型图如图4所示，整星初始质量分配如表1所示，表1中结构质量包括壳体、底板和部分主要支架质量，天线支架和帆板结构质量未包含在内。

图4 布局图和构型图

表1 卫星初始质量分配

2.2 强度校核

根据火箭所给载荷条件和安全裕度，要求纵向过载系数取10 g,横向过载系数取2 g,安全裕度大于0.25。结构的强度校核是验证在横向和纵向的组合工况作用下，结构的安全裕度值是否满足要求。用有限元软件计算的结果如图5所示。

分析结果显示，组合工况下整星应力最大值出现在上壳与中壳连接处，最大应力值为89.9 MPa。壳体采用T700材料，铺层方式为0°、±45°、±90°标准铺层，根据蔡希强度准则得到材料的破坏应力为328 MPa。安全系数按照局部安全系数取1.8，该结构安全裕度计算结果如表2所示。

图5 最大应力计算结果图

表2 整星安全裕度计算

由表2计算结果可知，结构的安全裕度满足设计和使用要求，并可进一步优化。

2.3 灵敏度分析与迭代优化

灵敏度分析[14]是结构力学优化过程中的重要步骤，其结果大小直接决定了结构优化的方向和优化参数的取值。结构的固有频率与其弹性模量及构型有关，可利用结构振动固有频率的灵敏度来指导构型参数选取。结构无阻尼特征方程为

([K]-ω2[M])δ=0

(11)

式(11)中[M]为结构质量矩阵,[K]为结构刚度矩阵,ω为固有频率,δ为模态向量。

设计变量为各壳厚度ti，先看圆频率对厚度的敏感程度，则将特征方程对设计变量进行求偏导计算，表示式为

(∂K/∂ti)δ+K(∂δ/∂ti)-(∂ω2/∂ti)Mδ-(∂M/∂ti)ω2δ-ω2M(∂δ/∂ti)=0

(12)

可得圆频率与厚度的关系为

∂ω2/∂ti=((δT(∂K/∂ti)δ)-(ω2δT(∂M/∂ti)δ))/δTMδ

(13)

最终得到频率的灵敏度方程为

∂f/∂ti=δT/8π2(∂K/∂ti)δ-fδT/2(∂M/∂ti)δ

(14)

灵敏度分析的目的是降低对基频灵敏度低的壳体厚度，以降低结构质量实现轻量化。本文利用有限元软件对结构壳体厚度进行灵敏度计算，结构的壳体初始厚度为1 mm，分别分析三段壳体减少0.1 mm时，计算整星的一阶频率。得到的分析数据如表3所示。

表3 整星各向频率与壳体厚度关系

由表1可知三段壳的壳体厚度都对频率影响不大，说明该构型具有很好的稳定性。为减少迭代次数，现同时降低三段壳体厚度并取同等厚度进行轻量化。以横向一阶频率不低于35 Hz为设计目标进行迭代，初始整星质量51.4 kg，结构质量和质量占比计算结果如表4所示。

表4 迭代优化后质量占比变化

结构的稳定性与材料的分布情况密切相关，在卫星设计过程中，应当灵活考虑有效载荷的需求，对卫星结构做出合理的改变。考虑卫星一体化设计差异，难以与其他卫星形成有效对比体现特性，所以选用普遍的卫星结构质量占比来衡量该结构的轻量化程度。根据国外对部分卫星的质量占比统计结果[15-16]，卫星结构质量占比为22%～29%，而通过各种先进技术和先进材料的选用，目前能做到较小的结构质量占比为7%，未考虑帆板结构质量和天线支架质量的情况下，仿水母结构质量占比为4.9%，说明通过仿水母构型优化能够实现卫星的轻量化。

3 结论

每种小卫星有其各自需求和特点，可根据不同小卫星有效载荷需求灵活设计卫星构型，通过构型优化的方式实现结构轻量化，降低结构质量占比。从卫星的失稳原因和基础频率来看，结构的刚度和质量分布很大程度决定了结构的稳定性。本文提出利用曲面结构代替直板结构，继承承力筒式和箱板式的部分特点，仿水母形态设计了椭球薄壳结构作为主构型，以封闭构型提高材料使用效率。构型灵敏度分析结果显示该构型稳定性良好，对于壳体厚度变化不太敏感。以整星一阶频率不低于35 Hz为优化目标，得到最优厚度为0.1 mm，此时结构质量占比为4.9%，说明通过构型优化的方式能有效的实现轻量化。