基于新修正偶应力理论的Tmoshenko梁热稳定性与尺度效应分析

张大千，王玺鉴，王云鹏

(沈阳航空航天大学 辽宁省飞行器复合材料结构分析与仿真重点实验室，沈阳 110136)

自20世纪60年代以来，大量实验表明,由于杂质、晶格失配以及微尺度裂纹的存在，微尺度结构具有尺度效应。传统连续性理论无法解释尺度效应问题，因此发展了偶应力理论[1-2]和应变梯度理论[3-4]。在偶应力理论的基础上，Yang和Chong[5]提出了一种只包含一个材料尺度参数的修正偶应力理论，利用该理论，能够建立细观条件下的层合板和层合梁的分析模型。

Yang等提出的修正偶应力理论只适用于各向同性材料，使用受到限制，因此陈万吉等[6]提出一种新的修正偶应力理论，该理论适用于各向异性材料，能够研究复合材料层合结构细观尺度下的尺度效应。基于该理论，贺丹等[7-8]对复合材料Kirchhhoff层合板模型进行了分析；李莉等[9-10]对复合材料层合薄板的自由振动和稳定性分析进行了分析；M.Mohammadabadi等[11-12]对EBT梁、TBT梁和Reddy梁进行了屈曲分析；陈万吉等[13-14]分别对Mindlin板、Reddy板进行了单向轴压和双向轴压的屈曲分析，这些分析都发现了尺度效应的存在。

以上研究并未涉及到细观结构下复合材料层合梁的热稳定性，本文基于新修正偶应力理论，建立了微尺度下只含一个材料尺度参数的Tmoshenko层合梁热稳定性模型，针对简支梁进行了热稳定性分析，研究了屈曲临界温度和屈曲临界载荷的尺度效应。

1 新修正偶应力理论

陈万吉等[6]提出的新修正偶应力理论中定义的应变张量εij和曲率张量χij如公式(1)所示

(1)

应力张量σ和对称化得到的偶应力力矩张量m本构关系如公式(2)所示

式中，λ和G代表的含义是拉梅系数；i和j代表的是材料微观尺度下夹杂或缺陷尺寸的度量，也就是材料的尺度参数，可以通过实验测出。

2 热稳定性模型

2.1 层合梁位移场

以Tmoshenko层合梁为研究对象，由于层合梁只需考虑x和z两个方向，如图1所示，分别用u、w表示层合梁任何一点x和z两方向位移，ωx和ωz分别为转动位移。

图1 Tmoshenko梁示意图

整体坐标系下Tmoshenko层合梁的位移场为

(3)

式中，层合梁中面的任一点沿坐标轴x，z的位移分别表示为u0，w，其中梁的横截面绕y轴转角表示为θ。

对此二维问题，ωx、ωy、ωz简化为

(4)

由(3)、(4)两式，可推出考虑温度变量为时，层合梁中的应变和曲率关系如公式(5)所示

(5)

2.2 层合梁本构方程

在温度改变量为ΔT时，层合梁第k层在局部坐标系下的本构方程为[15]

(6)

式中，Ck为层合梁第k层刚度矩阵，可以表示为

(7)

在温度改变量为ΔT时，第k层层合梁在整体坐标系下的本构方程为[15]

(8)

其中Qk表示整体坐标系下的刚度矩阵，其表达式为

Qk=TkTCkTk

(9)

式中Tk表示的是坐标转换矩阵[12]，TkT代表的是转换矩阵的转置矩阵，转换矩阵的具体表达式为

(10)

将第k层铺设角定义为φk，则上式中m=cosφk，n=sinφk。由坐标转换矩阵可以得到整体坐标系下刚度矩阵的表达式，由新修偶应力理论可知b≫m，令m=0[16]，化简后得到

(11)

最终得出整体坐标系下的刚度矩阵式中的参数为

(12)

根据文献[17],层合梁第k层在整体坐标系下的热膨胀系数可以表示为

(13)

由热膨胀系数可以得到热载荷的表达式为[17]

(14)

(15)

2.3 基于虚功原理推导新修正偶应力Tmoshenko层合梁的热稳定模型

虚功原理的表达式为

δU-δW=0

(16)

δU代表的是内力虚功，δW代表的是外力虚功，具体表达式为

(17)

(18)

将式(17)(18)带回到式(16)中，化简，得

(19)

该式表示的是Tmoshenko层合梁的控制方程，式中N,M,Q,Y代表的是内力，表达式定义为

(20)

由文献[15]，可以得到简支层合梁力的边界条件为

(21)

位移的边界条件为

(22)

进一步求得Tmoshenko层合梁模型的控制方程为

(23)

由于只考虑热载荷作用，且梁的横向位移w远远大于轴向位移u0，因此可以忽略u0。假设fu=fc=0，化简得到Tmoshenko层合梁模型的平衡方程为

(24)

其中热载荷NT的表达式已经由式(12)求出。

应用Navier方法进行解析求解，满足边界条件要求的位移试函数可以表示为[17]

(25)

其中，m为位移模数(m=1，2,3,…)，将(23)式带入到(22)式，化简，得到只受热载荷作用的Tmoshenko层合梁模型的热稳定性表达式

(26)

相同的方式推导可以得到考虑轴向载荷和热载荷共同作用时的稳定性表达式

(27)

通过化简变换得到屈曲临界载荷的表达式

(28)

由式(28)可以得到受到轴向机械载荷作用时正交Tmoshenko层合梁模型的温度改变量为ΔT时的失稳屈曲临界载荷Ncr，当=0时退化为经典正交Tmoshenko层合梁模型稳定性理论。

3 算例

3.1 计算临界载荷

对比表1-2不难发现：热载荷对于Ncr的取值有着一定的影响，不可忽略。随着材料尺度参数的增大，Ncr的值也不断增大，特别是高阶Ncr增大的比较明显。

表1 铺设角为[90,0,90]简支梁在不含热载荷的机械载荷作用下屈曲临界载荷随材料尺度参数(10-6m)的变化

表1 铺设角为[90,0,90]简支梁在不含热载荷的机械载荷作用下屈曲临界载荷随材料尺度参数(10-6m)的变化

位移模数ℓ=0ℓ=5ℓ=10ℓ=15ℓ=20ℓ=25ℓ=30m=12 2252 3102 5652 9903 5854 3505 285m=28 9009 24010 26011 96014 34017 40021 139m=320 02620 79123 08526 91032 26539 14947 564m=435 60136 96141 04147 84057 35969 59884 557m=555 62657 75164 12574 74989 623108 746132 118

表2 铺设角为[90,0,90]简支梁在热载荷(ΔT=40 ℃)作用下屈曲临界载荷随材料尺度参数(10-6m)的变化

表2 铺设角为[90,0,90]简支梁在热载荷(ΔT=40 ℃)作用下屈曲临界载荷随材料尺度参数(10-6m)的变化

位移模数ℓ=0ℓ=5ℓ=10ℓ=15ℓ=20ℓ=25ℓ=30m=12 774 2 859 3 114 3 539 4 134 4 898 5 833m=29 4499 789 10 809 12 509 14 889 17 948 21 688m=320 57421 339 23 634 27 459 32 814 39 698 48 113m=436 15037 510 41 589 48 389 57 908 70 14785 106m=556 175 58 30064 674 75 298 90 172 109 295 132 667

3.2 梁的厚度与尺度参数的比值对屈曲临界载荷Ncr的影响

材料常数不变的情况下，计算相同温度下的铺设角为[90，0，90]时屈曲临界载荷Ncr随梁的厚度与材料尺度参数比值h/的变化。其中ΔT=40°C，=5×10-6m,梁的厚度与尺度参数的比值h/l=1,2…7,8,通过计算可以得到图2，其中，实线代表偶应力理论下的Ncr，虚线代表的经典理论下的Ncr。通过对比可见，随着h/不断增加，两种理论下的Ncr均增大，但在h/较小时，尺度效应更明显。

材料常数不变的情况下，计算不同温度下的铺设角为[90，0，90]时屈曲临界载荷Ncr随梁的厚度与材料尺度参数比值h/的变化。观察图3可知，材料的温度变化ΔT越大，Ncr的数值越大；当温度变化ΔT为相同时，随h/增大，Ncr的数值不断增大，且均大于经典理论下Ncr，随着h/不断增大，偶应力理论下和经典理论的Ncr差距不断减小，说明材料尺度效应仅在微尺度下出现。

图2 简支梁在热载荷的作用下屈曲临界载荷随着h/的变化

3.3 跨厚比L/h和材料尺度参数对屈曲临界温度ΔT的影响

由图4可知，屈曲临界温度ΔT随层合梁跨厚比L/h的增大而减小，随材料尺度参数的增大而增大。值越大，ΔT随着L/h的变化越大，尺度效应越明显。

图3 屈曲临界载荷随梁的厚度与尺度参数的比值h/与临界温度ΔT变化

图4 临界温度ΔT随着跨厚比L/h与材料尺度参数变化

4 结论

利用新修正偶应力理论推导出了在热载荷下的Tmoshenko层合梁本构方程，根据虚功原理得到模型的控制方程，由边界条件推导出Tmoshenko层合梁的热稳定性平衡方程，求解了给定条件下的屈曲临界载荷。随着梁的尺寸增加，尺度效应逐渐减弱，最终退化成经典理论Tmoshenko梁热稳定性模型。主要结论如下：

(1)根据本模型得出的屈曲临界载荷总是大于经典理论的屈曲临界载荷，验证了尺度效应的存在，证明了热载荷对屈曲临界载荷有一定的作用，不能忽略。

(2)跨厚比和材料尺度参数对屈曲临界温度都有影响；跨厚比越大，材料尺度参数越小，屈曲临界温度越低，材料尺度效应越弱。

(3)考虑温度变化的屈曲临界载荷大于经典理论下的屈曲临界载荷，且屈曲临界载荷与屈曲临界温度呈现对应关系，随屈曲临界温度的增加而增加。