经典问题演变拓展，推理素养落地生根——以一道常见几何问题的溯源拓展为例

☉北京教育学院朝阳分院 白雪峰

☉北京市第九十七中学 张彦伶

一、原问题及其深度解析

已知：如图1，AB为⊙O的直径，BC切⊙O于点B，AC交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线交BC于点E.

求证：CE=EB.

说明：这是一道常见且优秀的平面几何试题，在多个版本的几何习题集中都出现过，对于促进学生巩固圆的相关知识（如“圆中直径所对的圆周角等于90°”“切线的性质定理”“切线长定理”等）可以发挥重要作用.在近几年的中考数学试题中，这道题本身及其逆命题也有过多种花样翻新的考查.笔者将原问题中的条件和结论进行调整，可以演变成以下的问题.

图1

1.回归教材，溯本求源

人教版九上第101页，习题24.2第6题：如图2，PA、PB是⊙O的切线，A、B是切点，AC是⊙O的直径，∠BAC=25°，求∠P的度数.

北京版九上第149页，习题22-1第6题：如图3，PA、PB是⊙O的切线，A、B是切点，AC是⊙O的直径，∠ACB=70°，求∠P的度数.

以上两个题目无论是从图形，还是从已知条件与所求问题来看，相似度都极高.可能涉及的知识点包括切线长定理、切线的性质、直径所对的圆周角是直角、等腰三角形两底角相等、三角形内角和是180°、四边形内角和是360°等.

上述两个题目在两个版本教材中都出现了，主要原因在于其解法灵活，拓展思路宽泛，是平面几何解题教学的优质载体.下面，笔者就以人教版教材九上第101页习题24.2第6题为例，介绍三种主要解法，并基于三种解法阐述该问题的解题关键，以及与原问题之间的内在关联，据此透视圆背景下几何教学的关键所在.

方法1：利用切线性质和等腰三角形定义解决问题.

图2

图3

由切线的性质得到∠OAP=90°.由∠BAC=25°得到∠BAP=65°.由切线长定理得到△PBA是等腰三角形，则∠ABP=65°.再利用三角形内角和是180°求出∠P的度数.

方法2：构造“双垂图”解决问题.

如图4，根据切线的性质得到∠OAP=90°.由切线长定理可推导出OP⊥AB，则∠1=∠2.由切线长定理可得△PBA是等腰三角形，所以∠APB=2∠2.

方法3：利用四边形内角和和切线的性质解决问题.

如图5，由已知，在△OAB中求得∠1的度数，并由切线长定理，得到∠OAP和∠OBP都是90°，再由四边形的内角和是360°得到∠1和∠P互补，进而求得∠P的度数.

上述三种解法都是学生容易想到的，纵观解题过程可以看到，主要都是在借助切线的性质、切线长定理等知识的基础上重构图形，并在新的图形结构上综合运用所学知识解决问题.由此可见，核心知识不变的前提下，学生如何解决问题就在于如何理解图形，或者说如何重构图形.反之，当图形的结构发生变化时，在原有核心知识的基础上，又会派生出新的知识内容.

图4

图5

2.探求本质，正本清源

再回到我们的原问题，看看它与两版本教材出现的习题之间具有怎样的联系.如图6：

图6

从图6不难看出两个题目在图形上存在差别，但已知条件仍然是已知直径和两切线，只是去掉了角度这个条件，所求变为证明线段相等，即求证CE=EB.由此可见，两个题目的核心条件并没有变化，只是所求不同.那么，如何证明CE=EB呢？

其实，证明该问题的关键就在于深入认识和理解图形.事实上，利用切线和直径，可得“双垂图”，利用“双垂图”中角的相等关系，得到∠1=∠C，利用∠1＋∠2=∠3＋∠4=90°，再由切线长定理可推导出∠2=∠3，进而得到∠1=∠4，最后通过等量代换得到∠4=∠C，所以CE=EB.

当然，如果从结论出发，解题者关注的是：当CE=EB时，点E成为线段BC的中点，那么就可以联系图形中已有的中点O，连接OE.若要证明CE=BE，只需证明OE∥AC即可，那么图形即可变为图7，由切线长定理可得OE⊥BD，由直径所对圆周角是90°可得BD⊥AC，由此便可得到OE∥AC.利用平行线分线段成比例定理，便可得到CE=EB.

基于对上述问题的深度解析，我们可以看到，与圆有关的问题解法都比较灵活，原因是结合圆的相关性质，可以灵活地构造新图形，而如何把握核心条件、如何挖掘图形结构特征并进行图形重构或再认识才是教师教学的重点.

图7

二、问题演变与拓展

1.演变问题，巩固通法

方法1：如图9，连接OD.因为CD是⊙O的切线，所以OD⊥CD.

又因为BC⊥CD，所以OD∥BC.

图8

图9

又因为O是AB的中点，所以OD是△ABE的中位线，所以OD=BE.

方法2：在解法1的基础上，由OD∥BC，可得△AOD△ABE.

因为△AOD是等腰三角形，所以△ABE也是等腰三角形，从而证得BE=AB.

方法3：如图10，由切线的性质可得∠ODC=90°，所以∠1＋∠BDC=90°；因为直径所对圆周角是直角，所以∠2＋∠BDC=90°，所以∠1=∠2.又因为∠E＋∠2=90°，∠1＋∠ODA=90°，且∠A=∠ODA，进而可推导出∠A=∠E，利用等角对等边得到BE=AB.

图10

当然，除上述方法外还有其他解法.这个题目中，将原题中BC是⊙O的切线这一条件弱化，仅使BC⊥CD，原题中“外垂直内等腰”的结构转化为“内垂直”，但“外等腰”是否成立，要依据给出的条件加以推导.在解题过程中，起关键作用的是切线构造的直角与直径构造的直角仍然存在，并且通过这两个条件结合圆的背景不断演变，重构出新的结构.

2.拓展探究，提高能力

已知：如图11，A1B1、A2B2为⊙O的弦，A1B1//A2B2且A1B1=A2B2，点D在上，过点D作⊙O的切线PD，分别过点B1、B2作切线PD的垂线，垂足分别为C1、C2，直线A1D、A2D与直线B1C1、B2C2分别相交于点E1、E2.

求证：A1B·1A2B2=B1E·1B2E2.

证明：如图11，连接OD.

图11

因为PD为⊙O的切线，所以∠ODP=90°，则∠PDA1＋∠A1DO=90°.

连接A1A2.

所以∠A1A2B2=90°.

所以∠A1A2D＋∠1=90°.

因为PD为⊙O的切线，所以∠PDA1=∠A1A2D，所以∠1=∠A1DO.

因为B1C1⊥PD，所以OD//B1E1.

所以∠A1DO=∠2，所以∠1=∠2.

因为B1C1⊥PD，B2C2⊥PD，所以B1C1//B2C2.

又A1B1//A2B2，所以∠B1=∠B2.

所以△B2A2E2△B1E1A1.

所以A1B1·A2B2=B1E1·B2E2.

说明：在平面几何图形中，通过分裂点、分裂特殊线段（如三角形的中线、角平分线、圆的直径等）、分裂射线、分裂直线等手段都可以发现并提出新问题、探究新结论、提炼新方法、获得新经验，从而通过拓展问题达到培养学生创新思维的数学育人目标.［1］

三、教学启示

通过将一个以圆为背景的平面几何问题的不断拓展演变，能给我们的平面几何教学带来哪些有益的启示呢？

1.要关注学生数学思维的层次性

皮亚杰认为：儿童的几何概念是按照一定的次序和方向发展的，最初是拓扑的，然后才是投影的与欧氏几何的.在皮亚杰这一研究的影响下，后来的研究者很多都致力于几何教学认知层次的分析，其中，影响最大的就是范希尔理论.范希尔理论的核心内容有两个：一是几何思维的五个水平；二是与之对应的五个教学阶段.前者既可以用来诊断学生的几何思维水平，也可用于设计教学活动；后者则提出了一种几何教学的模式.［2］由此我们可以看出，学生几何学习思维水平的起点具有较大的差异，几何的教学就要依据学生现有的几何思维水平设计符合其认知水平的教学活动.这方面很多学者也做了大量的研究，能够对一线教学起到借鉴作用的除了刚才讲到的范希尔理论五环节教学模式，还有就是以“一题多变”为核心的“题组教学”或称“变式教学”.在这里，教师围绕题目本身在条件和结论两个方面进行演变，形成“一题多变”的形式，以图形之间“变”与“不变”的相互关系引导学生观察图形，思考图形变化过程中引起的位置关系和数量关系的变化，通过有逻辑的变化引发学生有逻辑的思考，基于一组问题的解决发现和提炼知识之间的内在联系，使得不同思维水平的学生能在不同层次上得到不同的发展，进而培养学生观察、分析、推理和表达的数学学习能力.

2.要重视促进学生对图形结构的再认识

几何综合题的解决是几何教学中难度较大的事情，其主要原因是学生难以从复杂的几何图形中找到基本图形，并通过有逻辑的分析发现所求与各基本图形之间的关系.

首先，在几何教学过程中，教师要重视强化学生对图形的分析，促进学生对图形结构的再认识.综合题无非是条件之间的关系隐蔽、图形复杂、所求与已知条件之间的逻辑链较长.要解决这个困难，教师可尝试将大问题切分成小问题，引导学生通过分析图形结构来化繁为简.比如，在读题时，将条件对应到图形中，一个条件、一个条件地分析，挖掘每一个条件背后隐藏的结论，并对所得到的2个或以上的结论进行再思考，看是否产生新的结论.这样，就在分析题目时将大问题聚焦到某一个条件上来，实现了大化小的目的.

其次，围绕每一个条件或所得的结论，在图形中找到基本图形结构，在基本图形中分析由已知可得的结论，找到可解决的问题点，将综合题分解成几个小问题，每个小问题指向不同的任务，多个小问题的解决最终促进综合题的解决或者合成综合题的解决.

再次，对图形中添加辅助线的情况，要在添加辅助线之后对图形进行再认识.添加辅助线的目的是重构图形，此时我们往往更容易关注此条辅助线添加的直接目的，关注这个目的下形成的新的图形结构，而忽略这条线与其他线段构成的新结构.所以要引导学生跳出辅助线添加的直接目的，站在统揽全图的角度对图形进行再认识，这时往往会有新的收获.

3.要注重学生动手画图与计算机辅助教学有机结合

在几何教学的过程中，教师还要注重培养学生动手画图的能力.画图的过程是学生基于对定理和性质的理解，通过实践，经历图形生成的过程.学生在亲历图形生成的过程中，感悟到图形是如何从简单到复杂，发现其中隐含的那些促进问题解决的基本图形，学生的理性认识会不断深刻，思维水平会逐渐提高.对于某些题目的解决，教师还可以尝试不给出图形，让学生通过读题，理解题目中描述的数量关系和位置关系，并将其转化为正确的图形.通过文字语言、符号语言和图形之间的反复转换，促进学生形成空间意识，提高图形分析能力.当然，对于较复杂的几何问题，教师还可以通过几何画板等技术手段进行演示，动态演示图形的生成过程，测量特殊点、特殊位置时的角度或线段的值，以更加生动、直观的方式分析图形、认识图形、利用图形.另外，计算机辅助教学还为刚才谈到的图形变式提供了动态呈现的可能，让学生反复观察图形变化的全过程，体会变化过程中的“变”与“不变”，深化学生逻辑推理能力的培养.

总而言之，在初中数学学习过程中，“图形与几何”承担了学生学习推理和证明的重要任务.平面几何教学中，教师要充分考虑学生原有几何思维水平的差异性，注重平面几何教学的基础性、层次性、发展性，通过题组变式教学、学生动手画图、动态图形演示等多种途径，帮助学生学会剖析图形结构、把握基本图形、发现解题方法、执行解题步骤、回顾研究过程、归纳基本思路、提炼基本思想和基本活动经验.［3］

笔者认为，在平面几何学习中，学生最重要的任务是学会用科学、准确的数学符号语言正确地表达逻辑思维过程.作为数学教师，要把培养学生的数学思维能力作为重要目标，改变学生单纯模仿教科书上几何推理证明的学习现状，善于指导学生在不断的观察、分析、猜想、探索和证明等一系列研究活动中，掌握逻辑推理证明的方法，提升几何问题的分析与解决能力，提高直观想象和逻辑推理素养.［4］