收集“同类问题”，开展“专题复习”——以两道“形同质异”考题为例

☉江苏省苏州工业园区星汇学校 高雅岚

近读《中学数学（下）》，参考文献［1］～［3］倡导中考专题复习（或微专题），读来引发共鸣.笔者近年来在一些较难习题讲评时多采取这种同类习题关联组合出现讲评的方法，效果很好.本文结合近期收集到的两份九上期末试卷上的把关题，关联在一起呈现这两道“形同质异”考题，先给出思路突破，再跟进教学思考，供分享和研讨.

一、两道“形同质异”考题的思路突破

考题1：如图1，在平面直角坐标系xOy中，经过点E（0，2）的直线y=kx+b与抛物线y=x2+1交于A、B两点（A点在B点的左侧），过点A、B分别作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D.

（1）当CD=3时，求k、b的值.

（2）分别用S1、S2、S3表示△ACE、△ECD、△EDB的面积，问：是否存在实数t，使得S22=tS1S3都成立？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.

思路突破：（1）由过点E（0，2）的直线，可知b=2，所以y=kx+2.

图1

（2）依题意，S2=CD·OE=（x2-x1）·2=x2-x1.由（1）得CD=x2-x1=，则S22=（x2-x1）2=k2+4.

回顾反思：这道习题关键在于第（2）问，但第（1）问分析出的CD=x2-x1=，对于第（2）问的思路突破很有帮助.将面积公式转化为两根x1、x2的表达式进行演算、变形，是求解的关键.

考题2：如图2，在平面直角坐标系xOy中，已知点M（0，1），点M关于x轴的对称点为N，过点N作y轴的垂线l，动点R满足到直线l的距离等于线段MR的长度.记点R的轨迹为Γ.

充分发挥农机合作组织的带动和引导作用。一是建议各级政府和相关部门加大对农机合作组织和种植大户的培育力度，提高农机合作组织的农机装备水平；二是建议农机部门引导农机合作社积极投入主要农作物产前、产中、产后全程机械化生产作业服务，通过农机服务组织率先应用先进适用农机新机具、新技术，不断扩大影响范围，进一步扩大农机作业面积，以点带面，加快主要农作物全程机械化发展，进一步提高全市农机化水平。

（1）设点R的坐标为（x，y），求y关于x的函数表达式，并指出Γ是什么图形.

（2）我们把这里的点M称为曲线Γ的焦点，直线l称为曲线Γ的准线.

已知直线y=kx+b（k≠0）过曲线Γ的焦点，并与曲线Γ交于A、B两点，分别过A、B两点作曲线Γ的准线的垂线，垂足分别为P、Q.

①求∠PMQ的大小；

图2

思路突破：（1）图形Γ是一条抛物线，函数的解析式为y=x2.

图3

接下来重点攻克y1y2的值.

回顾反思：解这道考题第（2）题第②问的关键是将“形”向“数”转化，并通过含y1、y2及含x1、x2的式子运算，获得问题进展.当然，问题结构中抛物线的准线与焦点性质对于最初转化变形也是关键步骤.

二、关于“同类问题”的教学思考

1.重视收集整理“同类问题”开展专题复习

中考专题复习往往按知识点开展一轮复习，再按题型进行所谓的二轮复习，很多专题复习课时的选题之间关联度不大，常常是一题接一题的题海战术，优秀学生常常处于“空转”状态，复习课的品质难以提升.我们认为，教师重视收集整理“同类问题”并开展专题复习是一种可行的备课方式.具体来说，就上文两道考题就可开展一节专题复习课，复习主题可定位为基于抛物线与直线相交的深入探究，侧重于数形结合（以形助数、以数驭形）思想方法的复习与指导.一节课两道习题就足够，题量不宜太大，让学生有充分的时间独立思考，并且安排学生之间积极对话、充分展示，教师适时追问并成果扩大，特别是在回顾反思阶段，要引导学生辨析问题的关键一步、难点所在，两道考题之间的“同与不同”等.

2.引导学生辨析“形同质异”与“形异质同”

慢，也是这个道理.审题，就是要看清问题的条件是什么，求解目标和方向是什么，问题与此前练习过的哪些问题的结构相同或相近，问题的关键一步如何突破，要注意哪些易错点，等等，这些都值得认真辨析.试想，有些学生看到考题1及图1，首先“潜在假设”只是想到抛物线准线与焦点的性质，则方向就会走偏，浪费宝贵的解题时间.

3.函数图像问题要注重精准构图能力的培养

我们知道，处理几何图形问题时，对于一些特殊图形，要特别注意构图的准确性，因为一个不准的图形往往会影响、干扰解题方向.如等边三角形画不准，围绕等边三角形开展的后续图形的数量关系、位置关系的探究常常陷入僵局.在探究函数图像相关问题时，也有类似的现象.如考题2揭示了抛物线的几何性质：抛物线上任意一点到准线的距离和到焦点的距离相等，如果抛物线的准线与焦点找得不准，抛物线开口大小画得不当，则会严重干扰解题方向.比如考题2的图并不完整，解题过程中往往需要画出图形进行分析，教学过程中，常常发现有些学生将考题2的图形画成像考题1中图1一样的图形，这样会对探求直角形成很大的干扰，若画成一个45°左右的锐角，怎么也难以想到探求直角的思路上.可见，平时在教学与训练过程中，引导学生画出一个相对精准的草图是十分重要的.当然，一个精准的图形背景是对问题结构的充分解读和深刻揭示.

三、写在后面

解题即研究，对于教师的解题研究，我们认为，应该包括解法探究（一题多解与多解归一），并在解后反思环节想清辨明问题的深层结构、关键步骤、易错点所在，等等.在此基础上，还需要思考由这道题构思研发专题复习课有哪些注意事项，需要预设哪些铺垫问题，可进行怎样的变式改编，有哪些问题可以关联、链接，带领学生一起思考，提高学生快速识别问题结构的眼力.可见，教师在解题研究中要做的事还很多，出发点、用力点和落脚点都应该在教学研究的方向上.

专题复习课宜选择两种类型的问题进行关联、链接与对比复习.如“形异质同”问题，有些问题看似不在同一个问题背景之中，但是求解策略、解题方法、关键步骤等都是相同或相近的，这类问题在训练时要注意引导学生辨析、感悟、体会它们之间的一致性，发现深层结构的相似性，这样能有效训练学生的“眼力”，在限时独立解题中能提高解题效率.还有一类是“形同质异”问题，像上文两道考题这样，从图1、图2来看差不多，但图2是与抛物线的准线、焦点相关的性质，而图1与准线、焦点是无关的，辨析清楚这些深层结构，有助于学生尽快明确解题方向，找准解题思路.根据教学经验，不少学生在解题时常常对问题的题设（条件）还没有看清辨明就匆忙下手，导致往前进展很久，才发现出发点就是错的，我们常常说审题要