函数y=Asin（ωx+φ）的对称性“三问”

■王承哲

同学们都知道，正弦函数与余弦函数都具有对称性，它们的图像不仅是轴对称图形，而且是中心对称图形。那么，由正弦函数与余弦函数的对称性，如何来探究函数y=Asin（ωx+φ）和y=Acos（ωx+φ）的对称性呢？

问题1：如何求函数y=Asin（ωx+φ）与y=Acos（ωx+φ）的对称轴方程？

答：与正弦曲线、余弦曲线一样，函数y=Asin（ωx+φ）和y=Acos（ωx+φ）的图像的对称轴都通过函数图像的最值点且垂直于x轴。

函数y=Asin（ωx+φ）对称轴方程的求法：令sin（ωx+φ）=±1，得ωx+φ=（k∈Z），则所以函数y=Asin（ωx+φ）的图像的对称轴方程为

函数y=Acos（ωx+φ）对称轴方程的求法：令cos（ωx+φ）=±1，得ωx+φ=kπ（k∈Z），则所以函数y=Acos（ωx+φ）的图像的对称轴方程为x=

例1已知函数y=sin（2x+φ）图像的一条对称轴在区间内，则满足此条件的一个φ值为（ ）。

解：令2x+φ=解得x

问题2：如何求函数y=Asin（ωx+φ）与y=Acos（ωx+φ）的对称中心？

答：与正弦曲线、余弦曲线一样，函数y=Asin（ωx+φ）和y=Acos（ωx+φ）图像的对称中心，即为函数图像与x轴的交点。

函数y=Asin（ωx+φ）对称中心的求法：令sin（ωx+φ）=0，得ωx+φ=kπ（k∈Z），则所以函数y=Asin（ωx+φ）的图像关于点Z）成中心对称。

函数y=Acos（ωx+φ）对称中心的求法：令cos（ωx+φ）=0，得ωx+φ=kπ+π 2（k∈Z），则（k∈Z），所以函数 y=Acos（ωx+φ）的图像关于点成中心对称。

例2已知函数（ω＞0）的最小正周期为π，则该函数图像（ ）。

问题3：函数y=Asin（ωx+φ）的图像的对称性，一般可用到哪些重要结论？

答：函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图像的对称性有以下结论：①函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图像关于点（x0，0）中心对称，当且仅当f（x0）=0时成立。②函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图像关于直线x=x0对称，当且仅当f（x0）=A 或f（x0）=-A 时成立。上述结论，若换成函数f（x）=Acos（ωx+φ）同样成立。

例3（1）已知函数f（x）=a2sin2x+（a-2）cos2x的图像关于点中心对称，求a的值。

（2）已知函数f（x）=a2sin2x+（a-2）·cos2x的图像关于直线对称，求a的值。

解：由函数f（x）=a2sin2x+（a-2）·cos2x的图像关于点中心对称，可得所以a=2。

例4已知函数f（x）=sin（ωx+φ）的最小正周期是π，若将函数f（x）的图像向右平移个单位后得到的函数图像关于原点对称，则函数f（x）的图像（ ）。

解：由f（x）的最小正周期为π，可得=π，即ω=2，所以函数f（x）的图像向右平移个单位后得到函数g（x）=的图像。又g（x）的图像关于原点对称，所以可得Z）。由可得Z），所以故函数f（x）=