“问题—互动”教学中的数学活动研究

☉江苏省南通中学 杨建楠

数学教学是数学活动的教学，数学素养是在特定的、情境化的、综合性的数学活动中形成与发展、表现与评价的，数学教学活动所关注的重点不是教学结果而是教学过程，关注的是发展学生的“四基”“四能”，产生于“全人教育”思想指引下的“问题-互动”教学模式，在激发教育主体主动性的基础上，构建融合了“问题解决”“教学互动”“探究性学习”等一体的教学模式，以此达成教与学的和谐统一.该模式在“问题”引领的“互动”中，教师更加关注学生的主体参与性及其实际效果，“问题—互动”教学模式需要教师和学生在情感、智慧以及意志方面以“问题”为基础进行有效地“碰撞”，只有这样才能擦出知识的火花.在这一“碰撞”的教学活动过程中，教师所关注的不能仅停留在学生知识的掌握程度和运用能力的层面上，而是应更多地关注学生对思想方法的掌握和思维能力的养成训练上，这种“碰撞”也正是培养学生学科核心素养的土壤.在从“知识本位时代”走向“核心素养时代”的教学背景下，“问题—互动”教学的研究更具有现实意义.

一、以“问题”为灵魂 开展数学教学活动

案例1：《平均变化率》教学片段：

（苏教版《普通高中课程标准实验教科书（选修2-2）·数学》）

教师给出三个生活情境：房价“暴涨”、股指“跳水”、气温“陡升”.提出三个问题：问题1：如何从数学角度刻画房价“暴涨”、股指“跳水”、气温“陡升”呢？问题2：三个不同的问题情境，它们有共同的特征吗？问题3：你能归纳出解此类问题的一般方法吗？

学生讨论后得出：都可以用比值来刻画变量的快慢程度.

教师：我们把用来刻画变量的快慢程度的比值，叫做平均变化率，这就是我们今天要学习的平均变化率.

案例1通过房价“暴涨”、股指“跳水”、气温“陡升”这三个贴近学生、贴近生活、贴近教材的情境，让学生感知客观世界中存在着变化快慢不同的现象，培养学生的数学直觉和数学意识，使学生形成一定的数学核心素养的外在表现.通过三个合理问题的引领，让学生自主地进入问题思维过程，并自觉地进入计算思辨过程.使学生在已有认知结构的基础上建构出新的知识，让学生经历平均变化率概念的形成过程，体会平均变化率是刻画变量变化快慢程度的一种数学模型；感受数学模型在刻画客观世界中的作用，进一步领会变量数学的思想方法，强化概念形成的合理性和科学性.案例1中的问题的设计很好地关注了数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养.在“问题—互动”教学中的“情境+问题”式的问题的引领下浑然天成的帮助学生形成数学核心素养的内涵.

1.“问题—互动”教学中“情境+问题”的情境数学化要求：

①确定现实情境中的一个或几个（同类）问题的数学特征及关键变量，确认问题或情境中的数学结构（包括规律、关系和模式）.②简化情境或问题，使其更有利于数学分析.③在建模过程中弄清楚各种限制和假设，并逐步简化背景.④利用恰当的变量、符号、图表和标准模型对问题情境进行数学表征.⑤用不同的途径描述问题，包括数学概念和数学假设的利用.⑥理解和解释用于描述同一问题的现实情境语言和数学形式语言之间的关系.⑦把问题转译为数学语言或数学表征.

2.“问题—互动”教学中的“情境+问题”式的问题引领它关注以下三个方面：

①情境是形成数学核心素养的环境.传统的教学中数学知识的得出，主要是依据知识逻辑线索，缺少学生心理的发生过程，很大程度上是教师将数学知识“无私”地奉献给学生，因此学生无法得到知识来源的心理依据，数学知识也就不能从心理意义上发生.情境是学生展开学习活动的环境载体：案例1中三个情境指向关键的数学问题——平均变化率，能让学生去关注其数学本质，三个情境具有激趣特征，能激发学生的学习兴趣，引发学生自主探究，具有恰当的情境自然和情境梯度，有利于学生挑战问题，培养科学精神，同时三个情境有着真实而又简洁的特征，能够快速诱发学生的数学思考.

②问题是形成数学核心素养的灵魂.案例1中的三个问题的提出有这样几个特征：有明确的数学指向，它遵循自身逻辑关系来揭示数学本质；有明确的素养指向，问题的探究过程有利于学生充分体现数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等核心素养的过程性体验；有明确的结构指向，通过计算比值明确问题指向的远近目标；有明确的学习指向，问题逻辑线清晰，引领明确，问题梯度契合学生的认知能力水平，问题的启发性和挑战性并存.

③情境与问题和谐统一，使学生生成数学核心素养.案例1中的三个情境与三个问题融为一体，“境”为“问”服务，“问”由“境”引出，引导学生善于发现情境中所蕴含的问题.“境”利于数学关键问题的揭示与核心素养的磨砺性积累，“问”具有诱发性与递进性便于后面的“互动”的展开.

二、以“互动”为载体 提升数学活动的质量

案例2：高三复习专题：《如何破解应用题》

教师：高考中对应用题主要考查两个方面的能力：建立数学模型的能力（简称“建模”能力）、解决数学模型的能力（简称“解模”能力），其中“建模”就是借助于已有的知识与经验把文字数学化.如何数学化呢？就是要我们学会把常见的数学模型归类，这样数学化的方向才能明确.

互动一：对已经做过的一些应用题进行分类

生生互动（学生活动）、师生互动（小组交流、教师总结）得出结论.

互动二：学生之间交流并谈谈“建模”的关键点

互动三：感悟练习，交流方法

如图1所示，两座建筑物AB，CD的高度分别是9m和15m，从建筑物AB的顶部A处看建筑物CD的张角∠CAD=45°，则这两座建筑物AB和CD的底部之间的距离BD=______m.

图1

学生交流：设边、设角、建系、设二元变量.

教师：通过刚才的感悟练习，结合你的体会谈谈“建模”的关键点是什么？

学生：变量的选择，方法的优化.

教师：很好，下面根据同学们的感悟一起来完成下面的例题.

要求：请选择不同的变量与方法解下题，找到你认为的最佳的解决问题的方案.

例题如图2所示，摄影爱好者S在某公园A处，发现正前方B处有一立柱，测得立柱顶端O的仰角和立柱底部B的俯角均为S的眼睛离地面的高度为

图2

（1）求摄影爱好者到立柱的水平距离和立柱的高度；

（2）立柱的顶端有一长2米的彩杆MN，绕其中点O在SA与立柱所在的平面内旋转.摄影爱好者有一视角范围的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影爱好者是否都可以将彩杆全部摄入画面？说明理由.

互动四：如何选择变量与方法

活动后请学生思考：

（1）直觉引入哪个变量易“建摸”？

（2）引入哪个变量易“解摸”？

（3）选择哪种方法对“解摸”更有利？

解：（1）略.

（2）方法一：连结SM，SN，设SN=b，SM=a，

则在△SON和△SOM中，

故在彩杆转动的任意时刻，摄影爱好者都可以将彩杆全部摄入画面.

方法五：几何法

教师：感悟一下“解模”的难点与方法.

学生：“解模”的难点是自变量的选择方法的优化；“解模”的方法是灵活的运用函数求最值的方法.

互动五：你能谈谈感悟练习与例题的相似点与不同点吗？

学生：相似点：它们都属于米勒模型，并且是同一背景，例题中的第一问与感悟练习是同一题型，不同点：例题的第二问是把静态的距离问题转换成动态的最值问题.

教师：例题是否比感悟练习少一个条件？

学生1：不少，例题中过S点作垂线时是平分角的，感悟练习中的二角是不定的.

互动六：你能在例题的基础上给出合理的、可行的、建设性的意见来对例题进行改编吗？

学生1：实际问题不同，数学模型一样：足球比赛，一个球员带球垂直于底线运动，什么角度射门把握最大？看墙上挂画的视角最大问题？立体几何：狼山脚下路上，哪点处看支云塔最清楚？

学生4：可以求AB与α的最小值.

比如：r=2，AB=3，求α的最小值.

教师：刚才的改编题是以圆为背景，那么我们可以改变圆的背景吗？

案例2分析：“问题—互动”教学中，问题引导下“问题串+活动串”式互动的特点：（1）互动活动中的双质性：教学目标指向数学本质问题，指向学生心理本质规律，教育价值指向发展学生的数学核心素养.在互动的过程中体现发展学生核心素养的目的：学习经验引领学生学会归纳方法，并利用分类思想总结出高中数学中应用题的类型.（2）互动活动中的双边性：教学过程是师生共同活动的过程，应以学生为主体，克服以教师的“教”为中心的教学倾向.教学中的互动意识不仅表现在教学行为上，还要铭刻在教师的思想里，教师应在学情分析、目标确定、过程设计中有自觉表达的行为，教学设计不忘有目的地组织学生一起去经历探索的实践.针对学生学习与互动过程展开合理的数学思维的典型问题，通过“师生对话、生生对话”来快节奏地开展探究活动，通过教师的启发讲解和学生之间的交流体现学生的主体地位与教师的主导作用的结合.（3）互动活动中的双部性：既要注意学生的外部感知活动，又要重视学生的内部思维活动，关注学生的学习心理，教学中经历从问题串到互动串逐渐深入的探究活动过程，有利于培养学生发现问题、分类讨论、建立数学模型、推理论证等的能力，在具体的互动过程中提升直观想象、数学抽象、逻辑推理等素养，积累数学探究活动经验.（4）互动活动中的双型性：既要重视重要数学思维方法的输入型教学，更要重视学生以探究发现为主要标志的自主型学习引领.让学生自主提出问题，调动学生的探索欲望，让其积极参与到教学过程中，并尝试解决问题，从而真正唤起学生主动参与的意识.让学生经历数学模型的形成过程，真实体验如何通过数学的“眼睛”来观察和分析问题.使后面的提出问题与自己编题的互动比前面更开放、更深刻.