视角转化透视，品读赏析解法——以一道数列综合题为例

☉江苏省赣榆高级中学 孙运景

数列是高中数学中重要的知识内容，也是众多知识的衔接点，以其为背景命制的综合题存在多种解题策略，深入剖析考题的解题方法和思想内涵对于提升学生的解题能力具有重要的意义，本文将以一道数列综合题为例，开展考题解法探析，与读者交流学习.

一、试题呈现，思路梳理

题目数列{an}为等比数列，设其前n项之和为Sn，若对于任意的n（n∈N*）均满足点（n，Sn）位于函数y=bx+r的图像上，其中b为大于0且不为1的常数，r也为常数.

（1）试求r的值；

（2）若b=2时，记bn=2（log2an+1）（n∈N*），试证明对于任意的n，不等式恒成立.

本题目作为数列综合题，涉及等比数列、函数方程和不等式等内容，综合考查学生对数列、不等式性质的应用和分析转化能力，对学生的解题思维有着较高的要求.由于考题的综合性较强，涉及的知识点较多，因此考题的切入点也很多，可以从不同的视角分析，采用不同的解法进行解答，下面开展解法探析.

二、视角转化，解法剖析

题目第一问求解r的数值，而r是函数的一个特征参数，求解时需要借助点的坐标或参考对象.由于对于任意的n，点（都满足y=bx+r，则有Sn=bn+r，可对其加以讨论：若n=1，则S1=a1=b+r；若n≥2，则an=Sn-Sn-1=（b-1）bn-1，由于{an}为等比数列，则b+r=b-1，解得r=-1.

对于题目第二问的不等式证明，首先确定等比数列{an}的通项公式，当b=2时，an=（b-1）bn-1=2n-1，所以bn=2（log2an+1）=2（log22n-1+1）=2n.分析不等式的左侧，实际上就是数列因此问题可以转化为证明对于该式的证明可以从如下视角加以证明：

1.数学归纳视角

对于无穷项不等式的证明，一般采用数学归纳法进行证明，即首先证明n=1时成立，然后假设n=k时成立，最后基于上述情形证明n=k+1时不等式成立即可，注意后一种情形并不是代数式的简单叠加，而是需要基于对应的性质进行转化.

运用数学归纳法最为显著的优势是证明思路较为清晰，而证明过程中最为关键的一步一般是完成P（k）到P（k+1）的递推，因此要特别注意对P（k）与P（k+1）的关系进行分析，明确不等式最终形式的变形过程才是最重要的.

2.数学构建视角

上述题目的第二问以数列为背景来证明不等式恒成立，可以将其视为是单纯的代数问题，对于数学上代数式的证明可以通过构造思想来构建中间对象.本题目为数列与不等式的综合题，其构造对象有两种：一是构造新的数列，借助其媒介作用来实现不等式的转化证明；二是构造新的函数，从函数角度出发借助函数的性质来对其加以证明.

（1）构造数列

（2）构造函数

采用构造法来证明不等式问题，实际上就是利用构造对象的性质和特征来完成对原不等式转化变形的过程，因此在构造新的对象时，特别需要注意分析构造对象的适用条件.如构造函数时就需要分析函数的定义域，在其定义域上来分析其性质才是合理的，而构造新的数列时就需要注意每一项数列的性质.必要时也可以采用数形结合的方式来对其进行性质研究，确保分析结果的准确性.

三、品读赏析，教学引领

高中数学复习最为重要的一个环节就是对考题的方法进行总结，可以采用同类问题方法总结的方式，也可以采用一题多解探究的方式.上述对同一考题的多解探析不仅是对不等式问题的解法总结，同时也是从不同视角对考题的结构加以认识的过程，在时间紧迫的备考阶段该方式能更有效地提升学生的解题能力.下面提出一些相关的教学建议：

1.总结方法，拓展应用

上述对同一数列不等式证明题所采用的归纳法、构造法、缩放法、定理法实际上就是该类问题最为普遍的解决方法，虽然在使用的过程中存在着细节上的明显差异，但其思路步骤及思想内涵总体上是不变的，故应对具体的问题进行适度的变式.因此，在解题教学中最为重要的一步就是基于对应方法开展解法的深化教学，使学生摆脱方法定式解题的束缚，能够真正掌握解法，并灵活运用.适当条件下可以借助解法拓展练习的方式来加以强化.

2.完善认知，结构建设

从不同的视角对考题加以分析求解，其中最为重要的探究意义是对考题结构的认识，尤其是对于综合性较强的考题，认识问题的本质远远比掌握一种方法更为重要.如上述数列不等式，基于不同的视角可以认识到考题的不等式属性和函数属性，其均是代数属性在特定情形下的具体表现，针对其属性来开展的思路构建更能准确地定位考题，达到认知提升的目的.在教学中，教师要善于抓住考题的结构特征，从知识的联系点出发，构建相应的知识体系，完善学生的认知结构.

3.关注思想，提升能力

数学的解题方法实际上是在对应的数学思想的指导下完成的，即思想指导方法，方法体现思想，因此掌握方法就需要充分理解方法背后的思想内涵，从思想层面来领悟方法的真谛.因此在开展方法教学时十分有必要基于方法对应的思想来加以阐述，如归纳法的从特殊到一般的思想、构造函数的构造思想等.考虑到方法的思想内涵是蕴含在知识内容中的，相对而言较为抽象，因此可以结合具体的内容来进行讲解，使学生亲身体会到用思想方法解题的便利性，从而逐步培养学生的数学素养.