弹性波导模型中的非线性波动方程整体解的存在性

张媛媛

(开封大学 数学教研部，河南 开封 475000)

引 言

在研究非线性弹性杆中的应变孤立波时,出现了一类纵向的波动方程[1,2]

utt-[a0+na1(ux)n-1]uxx-a2uxxtt=0

(1)

这里a0,a2>0是常数,a1是任意的实数,n为自然数。在文献[1],[2]中,方程(1)退化为KDV方程[1,2]

ut+uux+μuxxx=0

(2)

其中μ是常数。在文献[2]中,作者研究了方程(2)的应变孤立波,但是关于方程(1)没有做出任何讨论[2]。很明显,方程(1)不同于方程(2),就处理方程(1)来看,目前只有为数不多的研究成果。在文献[3]中,作者就方程(1)的第一边值问题和初边值问题,用Galerkin的方法证明出局部古典解的存在唯一性[3]。方程(1)和(2)的建立具有重要的数学和物理意义,许多数学家和物理学家投身于应变波解及其行波解的研究中,并且得到了很多有意义的研究结果[4-9]。其中,在文献[10]中,作者讨论了一类一般的波动方程初值问题整体解的存在性和不存在性[10]。

本文我们主要研究下列一类弹性波导模型中的非线性波动方程

utt-uxxtt-uxx-uxxt=f(ux), in Ω×R+,

(3)

(4)

u(x,0)=u0(x),ut(x,0)=u1(x),x∈Ω。

(5)

的初边值问题。这里Ω是RN中的有界区域,具有光滑边界∂Ω,ν是∂Ω上的单位外法线,f满足的条件以后再限制。

文章分以下几个部分。第一部分,主要介绍一些概念和结论;第二部分,主要对问题(3)-(5)的整体解作先验估计,并证明解的整体存在性和唯一性。

1 主要结果

为书写简便,记下列简写符号：

C代表不同的正常数,C(·)代表正常数依赖于括号内出现的数量。

首先,考虑和问题(3)-(5)等价的Cauchy问题:

utt-uxxtt-uxx-uxxt=f(ux), in Ω×R+,

(6)

u(x,0)=u0(x),ut(x,0)=u1(x),x∈Ω。

(7)

下面给出主要定理:

定理1.1假定下列条件成立

(i)f∈C1(R),|f(s)|C1(1+|s|p+1),|f′(s)|C2(1+|s|p),这里0(i≥0)是正常数,并且(a)+=max {0,a}。

则问题(6)-(7)存在唯一解u,且(u,ut)∈L另外,(u,ut)连续依赖上的初值。

2 整体估计和解的整体存在唯一性

证明定理1.1。我们首先对问题(6)-(7)的解作一些先验估计。

令v=ut+εu,则v满足:

(8)

v(0)=u1+εu0≡v0。

(9)

(8)两边与v作内积,得:

(10)

这里,

K1(u,v)=ε3‖u‖2-ε‖v‖2+(1-ε)‖vx‖2+ε(ε2-ε+1)‖ux‖2-ε(f(ux),u)。

由假定,得:

(11)

然而,由假定(i),得:

≥C(‖u‖2+‖vx‖2+‖ux‖2)-C0。

(12)

(f(ux),u)|(f(ux),u)|

(13)

用同样的方法,得:

(14)

将(13)-(14)代入(10),得:

‖ut‖2+‖u‖2+‖uxt‖2+‖ux‖2

(15)

(8)两边分别与uxxt和uxx作内积,得:

(16)

(17)

(16)+ε×(17),得:

(18)

其中,

K2(u)=(1-ε)‖uxxt‖2+ε‖uxx‖2-ε‖uxt‖2-(f(ux),uxxt+εuxx),

(19)

(20)

由假定(i),得:

(f(ux),uxxt)|(f(ux),uxxt)|

(21)

同理,

(f(ux),uxx)

(22)

由(19),(21),(22),得:

K2(u)-δH2(u)≥(1-ε)‖uxxt‖2+ε‖uxx‖2-C1e-δt-C0,t>0,δ>0。

(23)

因此,

‖uxt‖2+‖uxxt‖2+‖uxx‖2+‖ux‖2

(24)

现在,我们求问题(6)-(7)的满足形式

(25)

(26)

un→u在L

(27)

在(25)-(26)中,令n→,由在L2中的稠密性可得,u是问题(6)-(7)的解,并且(u,ut)∈L

事实上,设u,v是问题(6)-(7)在空间L上分别对应于初值u0,u1和v0,v1的两个解,则ω=u-v满足方程:

ωtt-ωxxtt-ωxx-ωxxt=f(ux)-f(vx),

(28)

ω(0)=u0-v0≡ω0,ωt(0)=u1-v1≡ω1。

(29)

(28)两边与ωxxt作内积,由f的假定,得:

=(f(ux)-f(vx),ωxxt)

‖ωxxt‖·‖f′(θux+(1-θ)vx)dθωx‖

C‖ωxxt‖(‖ωx‖+(‖uxx‖p+‖vxx‖p)‖ωxx‖)

(30)

(30)应用Gronwall不等式,得:

定理1.1得证。