初中数学最值问题初步探讨

摘 要：最值问题贯穿于整个初中数学的学习过程，在中考试卷中占据着较重的分数。最值问题的形式多种多样，其解法也灵活多变，如果再加上生活背景，这就使得学生在遇到此类问题时觉得难度较大，不容易搞懂。在初中数学最值问题中，“花费最少”“时间最短”等最值问题都与日常生活有着紧密联系，这就使得课堂教学难度加大，本文对此进行初步探讨。

关键词：初中数学;最值问题;初步探讨

在初中数学教学过程中，最值的求解是一类综合性较强的问题，在中考中常以压轴题形式出现，这就增加了解题难度，使得学生在考场上丢失大量分数。初中数学最值问题最主要是考查学生在学习中对基础知识的综合运用，不管是代数形式还是几何问题都存在有待解决的最值问题。下面，笔者从以下几个方面对最值问题展开论述，希望对大家有所帮助。

一、 运用配方法求最值

在讲解最值问题时，配方法是一种重要的基本解题方法。当遇到二次多项式、一元二次方程时，学生要从配方的角度展开思考，运用配方法来进行解答，从而快速解出问题的答案。配方法的主要思路是将式子配成若干个完全平方式，通常以求取问题最小值为主，主要考查学生的观察和计算能力。笔者认为，配方法是解答最值问题的主要方式之一，学生应当熟练掌握并能够快速应用。

如，当x为实数时，方程y=3x2+12x+6的最小值为    。

y=3x2+12x+6=3（x2+4x+2+2-2）=3（x2+4x+4）-6=3（x+2）2-6。很显然，当x=-2时，y的最小值为-6。

如，当x，y是实数，则x2+4y2-4xy+2015的最小值为    。

原式=x2+4y2-4xy+2015=（x2+4y2-4xy）+2015=（x-2y）2+2015。显然有（x-2y）2≥0，所以当x-2y=0时，所得到的代数值最小，最小值为2015。

二、 基本不等式求最值

在初中数学教学中，教师会在讲授最值问题的同时引导学生掌握基本不等式。这类问题有个共性，当遇到两个数的积为定值，求两数平方和最小值时，教师不妨带领学生在解题时考虑不等式“a2+b2≥2ab”，当且仅当“a=b”时取等号。但是，在问题求解过程中，学生一定要注意式子的每一项均为正数，在此基础上进行灵活运用。

如，若xy=5，那么代数式1x4+14y4的最小值是  。

解，分1x4+14y4=1x22+12y22≥21x212y2=1（xy）2=25。所以：1x4+14y4的最小值是25。

三、

运用判别法求最值

在遇到最值问题时，有时候看起来没有任何思路，如果应用配方法或不等式法来求解较为困难，教师可以引导学生根据题意来构造关于未知数x的一元二次方程，再利用x为实数，通过方程判别式来求出y的取值范围，最终得到最值。这种求解问题的方法称为判别式法，主要应用的范围为分式型二次函数。

如，求x2-x+1x2+x+1的最大值与最小值分别为多少。

设x2-x+1x2+x+1=y，通過分式整理得：x2-x+1=yx2+yx+y。

即（1-y）x2-（1+y）x+1-y=0。因为x为实数，所以Δ≥0，即（1+y）2-4（1-y）2≥0，从而解得13≤y≤3。因此，x2-x+1x2+x+1的最大值为3，最小值为13。

如，求函数y=3x2+6x+512x2+x+1的最小值。

原式可以化为：y12x2+x+1=3x2+6x+5，整理公式得（6-y）x2+（12-2y）x+（10-2y）=0，因为x的取值范围为全体实数，因此关于x的二次方程均有实数根。∴Δ=（12-2y）2-4×（6-y）（10-2y）=-4y2+40y-96≥0，即，y2-10y+24≤0，得4≤y≤6。因此，函数y=3x2+6x+512x2+x+1的最小值为6。

四、 数形结合求最值

在做题时，当遇到一些代数条件中的问题有几何意义时，或通过分析发现问题与几何有所关联时，教师不妨采取数形结合的教学方法，引导学生根据数形结合思想来求解问题最值。

如，求x2+4+（8-x）2+16取最小值时实数x的值。

x2+4+（8-x）2+16=（x-0）2+（0-2）2+（x-8）2+（0-4）2。此时，学生可以构造图形，作A（0，2）关于x轴的对称点A′（0，-2），设直线A′B的解析式为y=kx+b，从而得：

0k+b=-2

8k+b=-4解得k=34

b=-2，得到y=34x-2，使y=0，则x=83。所以，当x=83时，x2+4+（8-x）2+16存在最小值。

虽然最值问题的解题思路和方法多种多样，但是，“万变不离其宗”，学生只要从配方法、基本不等式、判别法及数形结合等多种角度深入分析，就能迅速解答问题，从而在考场上取得理想的数学分数。

参考文献：

[1]王盛裕.例谈数学竞赛中的最值问题[J].中学数学杂志，2002（2）.

[2]吴崇庆.初中数学求值问题的两种方法——兼谈数学思想与方法的渗入[J].中学数学教学，1997（12）.

作者简介：

张火木，福建省晋江市，福建省晋江市磁灶中学。