问题带动知识 过程带动方法 反思带动思维—“一元一次不等式组”教学思考及感悟

湖北省武汉市第六初级中学(430016) 王军

广东省广州开发区中学(510730) 李小兵

概念课的教学是教师落实基础的关键,是学生打好基础的首要环节.在初中数学学习中,数学概念的建立是很重要的,这个恰恰又是一个教学的难点,因为初中生的抽象思维能力还较弱,同时教师对概念的教学重视程度不够,甚至有的教师三言两语自己介绍定义,学生没能深刻理解其内涵,造成的后果是进行复习时,抱怨学生为什么这么简单的概念题都出错,都记不清.鉴于此,我们有必要研究它的教学特点和规律,对数学知识做出符合学生认知水平的理解,使结果性的现成知识转化为易于被学生理解的形式,并围绕数学核心概念、思想方法进行教学,在挖掘知识所蕴含的价值观资源上狠下功夫,在教学设计中,我们可以让学生面对对具体事例时通过问题带动知识,发现个别规律研究一般规律时精细过程带动方法,感受数学思想、观念时利用反思带动思维,使学生学会数学地思维,形成强大的数学认知结构,切实发展数学能力,提高数学素养.下面以人教版七年级下学期《9.3一元一次不等式组》为例,利用“三个带动”教学思路探讨概念教学设计.

一、教学过程

(一)一元一次不等式组的学习经验是什么?

在不等式组学习之前,我们已经学习了二元一次方程组,两者在学习时必然有类似的研究对象和方法.

教学片断问题用每分钟可抽30吨水的抽水机来抽污水管道里积存的污水,估计积存的污水超过1200吨而不足1500吨,那么大约需要多少时间才能将污水抽完?

教师:根据这段文字,我们会想到什么数学知识解答这个问题?我们要求的未知数x与这两个不等式有关系吗?你能说一下有什么关系?

学生1:所求x同时满足这两个不等式.

教师:这位同学回答得非常好,对于“同时满足”这样的表达最近在哪里曾经出现过?你想到最近我们学习的什么数学知识?

学生2:这让我们想起方程组.

……

教学分析面对实际问题,带动学生的应用题解决问题的知识,学生分析数量关系,根据数量关系列出两不等式,引导学生从结果思考,关注“同时满足”,联想起熟悉的方程组的表示形式,通过类比方程组,从组成形式上引出并用实例说明一元一次不等式组的概念,让学生借助对已学知识的认识学习新知识的同时体会数学的化归思想,从问题带动学生已学知识.

(二)一元一次不等式组的解集与一元一次不等式的解集有什么联系和区别?

类比方程组的解,抓住不等式组的解集与一元一次不等式的解集联系和区别,在探索不等式组解集的过程中,形成解一元一次不等式组的方法.

教学片断

学生3:45,44,43,42,41,46,47,48,49.

教师:哦,那么我取一个值,55符合要求吗?为什么?

学生4:不符合,因为30×55=1650＞1500.

教师:看来55不符合,因为不满足不等式30x＜1500,大家都认为所求的x可以取以上值吗?x还可以取哪些值?

学生5:我发现x的取值是无限个的,只需要满足40＜x＜50就可以了

教师:你发现了x的取值是一个满足40＜x＜50集合,能说一下是怎样找到这个集合的吗?

学生6:只要分别解出30x＞1200和30x＜1500,得x＞40和x＜50,于是就有40＜x＜50.

教师:这位同学的发现非常有说服力,他分别解出了不等式组的两个不等式,寻找出了同时满足这两个不等式的解集.联系你所学的一元一次不等式解集知识,你有什么方法直观而快速的确定同时满足这两个不等式解集吗?

图1

学生7:我们知道不等式的解集可以在数轴上非常直观的表示出来,请大家把30x＞1200和30x＜1500的解集在数轴上表示出来.从图形上我们可以很快发现同时满足这两个不等式的解集.

教师:根据上题的解答过程你认为解一元一次不等式组的一般步骤是什么?

学生8:步骤为:(1)求出不等式组中各个不等式的解集;

(2)利用数轴,找出这些不等式解集的公共部分;

(3)根据几个不等式解集的公共部分,写出这个不等式组的解集.……

教学分析一元一次不等式组、一元一次不等式组的解集、解不等式组的定义形成是从具体事物认识抽象事物的一种方式,是由特殊到一般,由具体到抽象的过程.一元一次不等式组的概念是通过类比方程组得到,这个学生容易理解,但是类比又容易让学生产生不利的影响,比如对于一元一次不等式组解集的理解就是一个难点了,公共解到公共解集的变化,解不等式组是分别解每个不等式而不是将像方程组那样将两个方程联立解答,这些都需要学生对一元一次不等式组解集概念有初步的认识.为了突显概念本质,对概念的探究过程进行精细化处理,用过程带动学习方法,在对数学内容本质认识的深化过程中逐渐形成数学的研究方法,所以我采取了以下活动流程:(1)先根据具体简单的实例找解;(2)举出满足一个一元一次不等式而不满足第二个的未知数取值;(3)根据自己的经验找出更多的解;(4)如何找到的?(5)利用数轴理解解集的公共部分.在解不等式组时注意类比中的差异性,在突破难点时注重已学知识的应用,体现由数定形,由形判数,数形互通,快速而又准确的解答问题,感受数形结合的思想.

(三)寻找一元一次不等式组的解集方法的过程中,运用了哪些知识和方法?

为了突出概念的应用和精致,给出了特殊化试题,让学生关注概念的关键词,运用所学数学知识解决困难.同时通过基本知识回顾和反思基本方法、经验的过程,提升学生数学思维.

教学片断

课堂练习:直接写出下列不等式组的解集,看谁又准又快:

师生活动:(1)通过练习,我们再回顾一下这节课我们主要学习了哪些知识点?(2)解不等式组一般分哪几个步骤?(3)数轴在解不等式组过程中的作用是什么?(4)在学习的过程中运用到了哪些数学思想方法?(5)哪类问题适合用不等式组解决?

教学分析数学概念教学的目的主要是使学生深刻地理解概念,牢固地掌握概念,灵活的运用概念.因此在学生获得概念后,在实践中运用概念的过程是检验教学效果重要部分,运用概念实质上是概念具体化的过程,概念的具体化有助于学生对概念深刻理解和牢固掌握.对解一元一次不等式组的过程进行分步处理,通过探索过程带动学习方法,并具体到操作流程,在解答过程中深化方法.

对试题特殊化呈现,突出数轴对于确定不等式组的解集的优越性,特别是初学不等式组的阶段,直观表示有助于准确、快速地确定解集.也让学生渗透从特殊到一般,从一般再到特殊的思想方法,同时在遇到困难时,回归概念本身,理解概念的深刻性.

引导学生从知识和方法两个角度做总结,提炼知识学习过程中的数学思维,感受“特殊到一般再到特殊”研究代数的基本套路,使学生自主建构知识,形成知识网络.总结时注意反思,通过反思带动学生注重数学思想方法的感悟,同时抛出问题将本节知识延伸,为后面的学习埋下伏笔.

二、感悟

(一)问题带动知识

在数学教学中联系学生的生活经验创设现实情境,让学生看到数学起源于现实,看到数学应用于生活,感知数学是对现实世界进行空间形式和数量关系方面的抽象化、形式化刻画.概念的教学需要从引进的“情景化”通过问题带动知识的方式,进行“数学化”的提炼,让学生从感性认识阶段分化到本质属性阶段的同时获得数学对象的研究.数学概念具有相对的独立性,数学中的多数概念都是在原始概念的基础上形成的,并且还要加以逻辑定义,用语言形式固定下来.教学中,要理解概念所定义的数学对象,通过问题带动知识,调动已知概念分析实际问题,形成研究新问题的冲动,然后认识新概念,为学生自我构建知识奠定坚实的基础,也体现数学教学的整体性.本节课通过实践问题带动应用题解决问题的知识,学生分析数量关系,根据数量关系列出两不等式,思考怎样确定不等式组中x的可取值范围,关注“同时满足”带动方程组知识,类比方程组得到不等式组的概念.

(二)过程带动方法

数学方法是因解决问题的需要而产生,是进行对数学对象的研究,在分析研究对象的内在规律的过程中,通过学生的观察、分析、归纳、抽象、推理等得出的相应的方法,体现过程带动方法.在明确了研究对象是一元一次不等式组的解集后,在寻找不等式组解集时注意类比解方程组中的方法差异性,明确了要创造一种新的方法解决之,先从直观感受猜想找出一部分具体的解,通过典型实例举出满足一个一元一次不等式而不满足第二个的未知数取值,使学生领悟到“同时满足”,放手让学生根据自己的经验找出更多的解,追问学生“如何找到的?”,调到学生相关的经验,利用数轴理解解集的公共部分,从形象到抽象逐步得到一元一次不等式解集的概念.在一元一次不等式组解集概念形成过程中,注意到了类比、从特殊到一般、化归、数形结合等数学方法.

好的教学既需要有好的想法,也需要有能够落实的具体措施,能把思想转化成学生面对问题时可以实施的行动.概念的巩固应用时就是用概念做判断的具体事例,形成用概念做判断的具体步骤.对解一元一次不等式组的过程实际上是对一元一次不等式组解集概念的理解和应用过程,教学中通过领悟概念的关键词的意义将解一元一次不等式组具体到操作步骤,在解答过程中深化方法.课堂练习的公共部分特殊化的表现,让学生对公共部分有更完善的理解,体现概念的精致.

(三)反思带动思维

《义务教育数学课程标准》(2011版)把“双基”拓展为“四基”,其中“基本思想”和“基本活动经验”就是对数学思维教学的要求.一般而言,数学是否学得好,根源在于是否理解到数学知识所蕴含的数学思维方法,即是否已彻底了解“数学知识是怎样来的,有可以怎么去用”.本节课从知识形成过程再次让学生经历概念所定义的数学对象从获得到研究,再到应用,洞察其数学化的过程,

从数、形的角度抽象出一元一次不等式组解集的概念,明确了每个不等式解集的公共部分,通过建立相关知识的联系而形成知识体系,并深化认识拓展新知.反思一元一次不等式组解集概念的学习和应用过程,领悟其中用的数学方法,体现建模的全过程,通过学习数学去学会思维,数学概念是数学思维的最小单位,数学思维更是用概念思维.

“数学育人”的核心目标是培养学生的思维能力,目标的实现教师是关键,课堂教学是阵地,概念学习是载体,通过问题带动知识,过程带动方法,反思带动思维的“三个带动”设计概念教学,切实提升数学教学的功效.