重温经典 巧学复数

■河南省罗山高中老校区 王国栋

《数系的扩充与复数的引入》这一章共有2小节，主要内容有数系的扩充和复数的概念、复数代数形式的四则运算。复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充，这不仅可以使我们对数的概念有一个初步的、完整的认识，也为我们进一步学习数学打下基础。高考考试大纲的要求是：(1)复数的概念：①理解复数的基本概念，②理解复数相等的充要条件，③了解复数的代数表示法及其几何意义。(2)复数的四则运算：①会进行复数代数形式的四则运算，②了解复数代数形式的加、减运算的几何意义。其中一共有六个考点，能力层次要求基本上是了解与理解。

从最近三年高考全国卷看，每一年每一张试卷对本章都有考查，而且试题很好地贯彻了考试大纲的要求。

从三年试卷我们可以看到，高考对这部分知识的考查完全按照考试大纲的要求，对复数的概念、复数相等、复数运算等进行重点考查。尤其是复数四则运算更是考查热点。值得一提的是，突出了复数相等、复数的模运算，这一点可以提高我们对复数的概念的认识，它与实数还是有很大的不同的。关于四则运算方面的考查，我们要特别注重乘法和除法的训练，近三年都有考查。在学习四则运算时，对加法运算和减法运算要注意它们的几何意义，并能证明它们的运算律，对乘法和除法运算要注意运算法则的定义和运算律，这对我们的学习无疑是有帮助的。请看2017年全国Ⅰ卷理科第3题：

设有下面四个命题：

p1：若复数z满足∈R，则z∈R；

p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；

p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1=；

p4：若复数z∈R，则∈R。

其中的真命题为( )。

A.p1，p3B.p1，p4

C.p2，p3D.p2，p4

本题从多角度考查了复数的概念与运算，旨在考查我们在学习复数的时候能否跳出实数这个小圈子，理解和运用复数的有关概念，这里一定要运用类比方法，结合复数的运算律认真对比、掌握。结合最近三年的高考试题，举例说明如下。

一、复数的概念

例1(2016年文科Ⅰ卷第2题)设(1+2 i)(a+i)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a=( )。

A.-3 B.-2 C.2 D.3

试题分析：(1+2 i)(a+i)=a-2+(1+2a)i，由已知，得a-2=1+2a，解得a=-3，应选A。

例2(2017年文科Ⅰ卷第3题)下列各式的运算结果为纯虚数的是( )。

A.i(1+i)2B.i2(1-i)

C.(1+i)2D.i(1+i)

【答案】C

【考点定位】本考点需要我们了解复数单位i的引入，复数的代数形式z=a+bi(a，b∈R)，复数的分类，特别是z为实数、纯虚数等的充要条件。

【考查意图】主要考查同学们对概念的理解和运用能力，运算能力。

【错因分析】导致同学们出错的主要原因是对复数代数形式z=a+bi(a，b∈R)没有掌握好，搞不清楚实部、虚部的概念，还有的同学对虚数单位i的定义掌握不好。

【同类题型】

1.若复数z满足(3-4 i)z=|4+3 i|，则z的虚部为( )。

【解析】由(3-4 i)z=|4+3 i|，由z=得z的虚部为故选D。

二、复数的几何意义

例3(2016年理科Ⅱ卷第1题)已知z=(m+3)+(m-1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是( )。

A.(-3，1) B.(-1，3)

C.(1，+∞) D.(-∞，-3)

试题分析：要使复数z对应的点在第四象限，应满足解得 ，故-3＜m＜1选A。

例4(2017年文科Ⅲ卷第2题)复平面内表示复数z=i(-2+i)的点位于( )。

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

【答案】C

【考点定位】本考点需要同学们了解复平面的概念，建立复数与复平面上的点的一一对应关系，以及复数与复平面内以原点为始点的平面向量的一一对应关系，理解复数的模的几何意义，发现两点间的距离公式的复数形式，树立数形结合思想，运用数形结合方法解决问题。

【考查意图】主要考查同学们对概念的理解能力、运算能力和数形结合思想。

【错因分析】由于有些同学对复平面的概念不清楚，不注意和平面直角坐标系区别开，所以很容易犯概念性错误，特别要注意复数的实部和虚部都是实数这一重要规定。

【同类题型】

2.复数z=i(1+i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于( )。

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

【解析】由z=i(1+i)得z=-1+i，所以复数z在复平面上对应的点位于第二象限，故选B。

三、复数相等与复数的模

例5(2016年理科Ⅰ卷第2题)设(1+i)x=1+yi，其中x，y是 实数，则=( )。

试题分析：因为(1+i)x=1+yi，所以x+xi=1+yi，所以x=1，y=x=1，故|x+故选B。

例6(2017年理科Ⅲ卷第2题)设复数z满足(1+i)z=2 i，则|z|=( )。

【答案】C

例7(2018年理科Ⅰ卷第1题，2018年文科Ⅰ卷第2题)设则( )。

【答案】C

【考点定位】本考点涉及两个重要概念，复数相等与复数的模，归根结底还是复数代数形式的具体运用。

【考查意图】主要考查同学们的运算能力和方程思想。

【错因分析】容易出错的原因一是在利用复数相等的条件之前没有能够把复数化成代数形式，对实部和虚部分辨不清，二是在利用复数的模的运算性质方面出错，该开方时不开方，该平方时不平方。

【同类题型】

3.i是虚数单位，若R)，则a+b的值是( )。

【答案】C

4.|(3+2 i)-(1+i)|表示( )。

A.点(3，2)与点(1，1)之间的距离

B.点(3，2)与点(-1，-1)之间的距离

C.点(3，2)到原点的距离

D.以上都不对

【答案】A

四、共轭复数

例8(2016年文科Ⅱ卷第2题)设复数z满足z+i=3-i，则=( )。

A.-1+2 i B.1-2 i

C.3+2 i D.3-2 i

试题分析：由z+i=3-i得z=3-2 i，所以=3+2 i，故选C。

例9(2016年理科Ⅲ卷第2题)若z=1+2 i，则

A.1 B.-1 C.i D.-i

试题分析：易知故故选C。

【考点定位】本考点为共轭复数，包括共轭复数的定义，共轭复数的性质及几何意义，共轭复数的模运算等。

【考查意图】主要考查共轭复数的定义、几何意义和模运算性质，考查同学们的应变能力和运算能力。

【错因分析】出错主要原因是有些同学理解偏差或者是对定义模糊，运算时漏掉虚部互为相反数这一重要条件，还有些同学搞不清楚实数的共轭复数是其本身，导致错误。

【同类题型】

5.若复数z满足(z-3)(2-i)=5(i为虚数单位)，则z的共轭复数为( )。

A.2+i B.2-i

C.5+i D.5-i

【解析】由(z-3)(2-i)=5得z=3+故z的共轭复数为5-i，故选D。

6.已知复数z1=a+2 i，z2=a+(a+3)i且z1z2＞0，则实数a的值为( )。

A.0 B.0或-5

C.-5 D.以上均不对

【答案】C

五、复数运算

例10(2017年理科Ⅱ卷第1题)=( )。

A.1+2 i B.1-2 i

C.2+i D.2-i

【答案】D

例11(2017年文科Ⅱ卷第2题)(1+i)(2+i)=( )。

A.1-i B.1+3 i

C.3+i D.3+3 i

【答案】B

例12(2018年理科Ⅱ卷第1题)( )。

【答案】D

【考点定位】本考点是高考考查的重点、热点，主要包括复数的加法、减法、乘法、除法四则运算，加法与减法运算的几何意义即平行四边形法则、三角形法则，乘法与除法运算基本和多项式运算方法相同。

【考查意图】主要考查同学们的运算能力。

【错因分析】错误主要出现在除法运算方面，不少同学在对分母进行实数化时出错。注意互为共轭复数的两个复数的乘积是它们的模的平方，以免出错。

【同类题型】

7.设z=1+i(i是虚数单位)，则=( )。

A.1+i B.-1+i

C.1-i D.-1-i

【答案】A

【学习建议】解决复数问题，通常是运用代数形式把它转化为实数问题去解决，或者运用向量及其几何形式把它转化为平面几何问题或解析几何问题去解决，有时需要运用复数本身一些特有形式，如共轭运算、模运算等。复数沟通了代数、三角、几何之间的联系，因而复数问题的解法往往综合性强且构思巧妙，方法灵活。复数运算中，求值是最常见的，复数的运算种类虽多，但各种运算方式间有联系，最本质的运算方式是代数形式的运算。在处理数据关系时，同学们要学会根据法则、公式正确地进行运算，而且能根据题目寻求合理、简捷的运算途径，以培养思维能力和运算技能。