细解高考中的热点难点

孙成田 刘本玲

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2019）12-0222-02

恒成立问题包容性强，涵盖初等数学的各个方面，渗透着换元、化归、构造函数、分类讨论、数形结合、函数与方程思想，体现着在变化中把握不变量的数学特征，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用，故而在考试中被广泛采用。

一、变量分离型结合极端值原理

1.不等式的恒成立问题与函数最值有密切的关系，解决不等式恒成立问题，通常先分离参数，再转化为最值问题来解。

2.极端值原理：m≥f（x）恒成立，则m≥f（x）max；n≤f（x）恒成立，则n≤f（x）min。

例1.设函数f（x）=x2-1，对任意x∈[ ，+∞），f（ ）-4m2f（x）≤f（x-1）+4f（m）恒成立，求实数m的取值范围。解答：依据题意得 -1-4m2（x2-1）≤（x-1）2-1+4（m2-1）在x∈[ ，+∞）上恒成立，即 -4m2≤- - +1在x∈[ ，+∞）上恒成立。当x= 时函数y=- - +1取得最小值- ， 所以 -4m2≤- ，即（3m2+1）（4m2-3）≥0， 解得m≤- 或m≥ 。

例2.已知函数f（x）=xe2x-lnx-ax，若？坌x>0，不等式f（ ）-1≥ e + 恒成立，求a的取值范围。解答：由题意可知，f（ ）-1≥ e + ，？圯 e -ln - -1≥ e + ？圯a≤xlnx-x- 对任意x>0成立， 令函数g（x）=xlnx-x- ，所以g'（x）=lnx+ ，当x>1时，g'（x）>0，当时0

小结：（1）利用导数工具求出函数的单调性从而求出函数在区间内的最值；（2）将恒成立问题转化为最值问题求解即可得出a的取值范围。

二、函数思想结合函数模型

1.一次函数模型结合主辅元变换

给定一次函数y=f（x）=kx+b（k≠0），若y=f（x）在[m，n]内恒有f（x）>0，则根据函数的图像（线段）可得k>0f（m）>0或k<0f（n）>0，也可合并成f（m）>0f（n）>0，同理，若在[m，n]内恒有f（x）<0，则有f（m）<0f（n）<0。

2.二次函数模型

若二次函数y=ax2+bx+c，（a≠0）的函数值大于（或小于）0恒成立，则有a>0△<0（或a<0△<0），若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及二次函数的图像求解。

例3.已知函数f（x）=x2+2ax-a+2.

（1）若对于任意x∈[-1，1]，f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围；（2）若对于任意a∈[-1，1]，x2+2ax-a+2>0恒成立，求实数x的取值范围。解答：（1）由于对于任意x∈[-1，1]，f（x）≥0恒成立，故f（x）min≥0。又函数f（x）的图像的对称轴方程为x=-a，当-a<-1时，f（x）min=f（-1）=3-3a≥0，求得a无解；当-a>1时，f（x）min=f '（1）=3+a≥0，求得-3≤a<-1；当-a∈[-1，1]时，f（x）min=f '（-a）=-a2-a+2≥0，求得-1≤a≤1。综上可得，a的范围为[-3，1]。

（2）若对于任意a∈[-1，1]，x2+2ax-a+2>0恒成立，等价于g（a）=（2x-1）a+x2+2>0， ∴g（-1）=x2-2x+3>0g（1）=x2+2x+1>0，求得x≠-1，即x的范围为{x|x≠-1}。

小结：

（1）对于任意x∈[-1，1]，f（x）≥0恒成立，故f（x）min≥0.利用二次函数的性质，分类讨论求得a的范围。

（2）变换主辅元将不等式转化为关于参数a的一次函数，然后求x的范围。

三、数形结合思想，结合熟悉函数图像间的上下关系求解

“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，数形结合在不等式恒成立问题中起着重要作用，构造图像法求解。

（1）f（x）>g（x）？圳函数f（x）图像恒在函数g（x）图像上方；

（2）f（x）

例4.对于函数f（x）=sinπx，x∈[0，2] f（x-2），x∈（2，+∞），有下列4个命题：①任取x1，x2∈[0，+∞）都有|f（x1）-f（x2）|≤2恒成立；②f（x）=2kf（x+2k）（k∈N？鄢），对于一切x∈[0，+∞）恒成立；③函数y=f（x）-ln（x-1）有3个零点；④对任意x>0，不等式f（x）≤ 恒成立，则其中所有真命题的序号是____。

解答：f（x）=sinπx，x∈[0，2] f（x-2），x∈（2，+∞）的图像如图所示： ①f（x）的最大值为1，最小值为-1，∴任取x1，x2∈[0，+∞），都有|f（x1）-f（x2）|≤2恒成立，正确；②f（ ）=2f（ +2）=4f（ +4）=6f（ +6）≠8f（ +8），故不正确；③如图所示，函数y=f（x）-ln（x-1）有3个零点； ④由题意，可得，x∈（2k，2k+2），f（x）max= ，（ ）min= 。证明 ≥ ，即证明2k≥k+1，构造f（k）=2k-k-1，则f '（k）=2kln2-1≥0（k≥1）。

∴ ≥ ，∴对任意x>0，不等式f（x）≤ 恒成立，∴对任意x>0，不等式f（x）≤ 恒成立正確。

故答案为①③④ 。

小结：本题考查分段函数的应用，考查数形结合的数学思想，正确作出函数的图像是关键。