高慧明老师讲数学（1）——曲线轨迹方程的求法综析

■北京市第十二中学 高慧明

编者的话：数学在高考中占有重要地位，而数学试题一般都有不小的难度，该怎样求解数学试题呢?方法很重要，我们因此特邀一线数学名师高慧明老师讲解数学问题，分析解题思路，探究解题规律，总结解题方法，以帮助同学们领悟求解数学问题的关键所在。本期主要讲解曲线轨迹方程的求法，请同学们读读想想，希望能有所收获哟!

本刊特邀栏目专家简介:

高慧明首届全国十佳班主任，北京市高中数学特级教师，国家教育部课程改革“全国先进工作者”，全国著名高考数学命题与考试研究专家，国家教育部“国培计划”全国中小学教师培训和班主任培训特邀主讲专家，受邀为教育部“国培计划”做有关高中数学课堂教学、班级管理、教师专业成长等专题报告多场，在全国引起强烈反响。出版个人专著《高考数学命题规律与教学策略》《高中数学思想方法及应用》《让高中生学会学习》《高慧明班级高效管理艺术》《高慧明数学教学实践与研究》(丛书)等多部，应邀主编、参编教材和教学著作30余部。

轨迹问题是平面解析几何中非常重要的一类问题，它能综合考查同学们数形结合、等价转换、分类讨论、逻辑推理等方面的数学思想方法和能力，历来都是高考命题的热点。求轨迹方程的方法比较多，但从宏观上说不外乎两个途径:一是利用平面几何知识或圆锥曲线的定义求轨迹方程，这类题目对计算的要求不高，主要考查观察、联想的能力;二是利用代数的方法通过消参数得出轨迹方程，解决问题的关键是对式子的变形。

一、直接法求轨迹方程

若动点满足题设中明显的已知等量关系或易借助平面几何中的有关定理和性质(勾股定理、垂径定理、中线定理、连心线的性质等)分析出等量关系，则只需把这种易于表达的关系“翻译”成含x，y的关系式，就能得到曲线的轨迹方程。

【典例1】设直线l与抛物线Ω:y2=4x相交于不同两点A，B。O为坐标原点。

(1)求抛物线Ω的焦点到准线的距离;

(2)若直线l又与圆C:(x-5)2+y2=16相切于点M，且M为线段AB的中点，求直线l的方程;

解析：(1)由抛物线定义得，抛物线Ω的焦点到准线的距离为2。

(2)设直线l:x=my+b。

当m=0时，x=1和x=9符合题意。

当m≠0时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)。

Δ=16(m2+b)＞0，y1+y2=4m，所以x1+x2=my1+b+my2+b=4m2+2b。

所以线段AB的中点M(2m2+b，2m)。

所以Δ=16(m2+b)=16(3-m2)＞0，得0＜m2＜3。

综上所述，直线l的方程为:x=1，x=9。

(3)由(2)可知Δ=16(m2+b)＞0，y1+y2=4m，y1y2=-4b。

当b=0时，直线AB过原点，所以Q(0，0)，不符合题意。

综上，点Q的轨迹方程为x2-4x+y2=0(x≠0)。

点评：本题第(3)问中，由OQ⊥AB，且A，B，P，Q四点共线，可得OQ⊥PQ，进而可得=0，将此条件进行翻译，即可得点Q的轨迹方程。

【典例2】在平面直角坐标系xOy中，已知A(-12，0)，B(0，6)，点P在圆O:x2+y2=50上，若 ≤20，则点P的横坐标的取值范围是____。

解析：(方法一)根据题意，设P(x0，y0)，则有+=50。

故2x0-y0+5≤0，易知点P的轨迹为圆O在直线2x-y+5=0上方的部分(包括交点)。

图1

图2

点评：本题考查了轨迹方程的求法，其中方法一直接设出动点P的坐标，并对“点P在 圆O：x2+y2=50 上 ，≤20”进行翻译，思路较为简单；而方法二是对“若A，B为两定点，且=0，则点P的轨迹是以AB为直径的圆”这一结论的应用，要求考生有一定程度的积累。但本题的重点不是求方程，而是利用方程去分析曲线的性质，这是命题的一种新趋势，突出了解析几何的核心思想——通过探究曲线的几何特征建立方程，再通过方程性质研究曲线的几何性质，同学们应给予重视。

二、定义法求轨迹方程

若动点的轨迹符合某种曲线(圆、椭圆、双曲线、抛物线)的定义，则可根据定义直接设出所求方程，通过待定系数法求解。

【典例3】如图3，已知圆(x-2)2+y2=9的圆心为C。直线l过点M(-2，0)且与x轴不重合，l交圆C于A，B两点，点A在点M，B之间。过M作直线AC的平行线交直线BC于点P，则点P的轨迹方程是____。

图3

解析：如图3所示，因为AC，BC都是圆C的半径，所以|AC|=|BC|，又AC//PM，所以∠PBM=∠BAC=∠BMP，所以|PM|=|PB|。

由于|PM|-|PC|=|PB|-|PC|=|BC|=3＜|MC|，所以点P为以M(-2，0)，C(2，0)为焦点的双曲线的右支(除顶点外)。故点P的轨迹方程为＞0)。

点评：熟悉一些基本曲线的定义是用定义法求曲线方程的关键，求解过程中需注意定点的轨迹是曲线还是曲线的一部分，在写轨迹方程时一定要除去不符合条件的点。

【拓展延伸】圆及圆锥曲线的第二定义在解题中往往也有意想不到的作用，现归纳如下:

(1)圆:到两定点距离之比等于λ(λ＞0，且λ≠1)的动点的轨迹是以点圆心，长为半径的圆;

(2)椭圆:平面上到定点的距离与到定直线间距离之比为常数e(0＜e＜1)的点的集合(定点不在定直线上);

(3)双曲线:平面上到定点的距离与到定直线间距离之比为常数e(e＞1)的点的集合(定点不在定直线上)。

其中运用第二定义得到的点的轨迹也叫“阿波罗尼斯圆”，在高考中已热考多年，有兴趣的同学可以了解一下。

三、相关点法求轨迹方程

若动点满足的条件不便直接转化为代数关系，但动点P是随着另一动点P'的运动而运动的，而P'的运动规律已知(该点坐标满足某已知曲线方程)，则可以设出P(x，y)，用x，y表示出相关点P'的坐标并代入已知曲线方程，即可得到动点P的轨迹方程。

【典例4】如图4所示，已知Rt△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=6，在三角形所在的平面内有两个动点M和N，满足的取值范围是( )。

图4

解析：分别以AB，AC所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(4，0)，C(0，6)。

设 N(x0，y0)，因为，即N是MC的中点，所以x=2x0，y=2y0-6。

代入方程x2+y2=4，得(2x0)2+(2y0-6)2=4，整理得+(y0-3)2=1，所以点N的轨迹方程为x2+(y-3)2=1，即点N的轨迹是以(0，3)为圆心，1为半径的圆，易得的取值范围是[4，6]。故选B。

点评：相关点法也可称为代入法，其关键在于找到动点和其相关点坐标间的等量关系。如本题中，将翻译为点N是线段MC的中点，利用中点坐标公式建立M，N两点间的等量关系。

四、参数法求轨迹方程

有时动点满足的几何条件不易得出，也无明显的相关点，但却发现这个动点的运动常常受到另一个变量(斜率、截距、角度等)的制约，可尝试分别建立动点横、纵坐标与这个变量的函数关系，通过消参得到轨迹的普通方程。

【典例5】设M、N、T为椭圆上的三个点，M、N在直线x=8上的射影分别为 M1，N1。

(1)若直线MN过原点O，直线MT、NT的斜率分别为k1，k2，求证:k1k2为定值。

(2)若M、N不是椭圆长轴的端点，点L坐标为(3，0)，△M1N1L与△MNL的面积之比为5，求MN中点K的轨迹方程。

解析：(1)设 M(p，q)，N(-p，-q)，

故直线MN经过点F(2，0)，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，K(x0，y0)，

①当直线MN垂直于x轴时，弦MN的中点为F(2，0)。

②当直线MN与x轴不垂直时，设MN的方程为y=k(x-2)，则:(3+4k2)x2-16k2x+16k2-48=0。

综上所述，点K的轨迹方程为(x-1)2+=1(x＞0)。

点评：在利用参数法求出轨迹方程后，应注意检验其是否符合题意，既要检验是否增解(即以该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上)，又要检验是否丢解(即轨迹上的某些点未能用所求的方程表示)，其检验方法为研究运动中的特殊情形或极端情形。如本题第(2)问用直线MN的斜率k表示出x0，y0后，注意到k≠0，从而可得x0＞0，y0≠0。

对于轨迹方程问题，方法的选择尤为重要，同学们一定要认真分析所给条件，选择合适的方法求解，一般优先选用直接法、定义法。在求出曲线方程的方程之后，应仔细检查有无“不法分子”掺杂其中，将其剔除。另一方面，又要注意有无“漏网之鱼”仍逍遥法外，要将其“捉拿归案”，以确保轨迹方程的纯粹性及完备性。但是这里请读者一定要注意，从现在的考试形式分析的话，此类问题的重点不在求方程上，而是要能利用所求方程去分析曲线的性质，本文的部分例题对此有所体现，望读者能认真体会，有所感悟。