初中数学分类讨论思想在解题中的应用探讨

单艳梅

摘 要：在看到一道数学题目时，应该了解任何数学的解题方法都是在正确的数学思想的指导下完成的。数学学习中合理运用分类讨论思想，通过对问题的分类，可以节省很多计算步骤，进而得到正确的解题思路和答案。分类讨论自数学学科诞生以来就是其重要组成部分，分类讨论思想作为数学问题研究与解决的重要思想，对于简化问题、提供思路、构建知识体系具有显著的作用。在新課标的新要求下，初中数学应将分类讨论思想作为教学的重要工作，充分引导学生运用分类讨论思想解决问题，从而培养学生的逻辑思维与数学素养，将素质教育培育人才的基础目标落到实处。

关键词：初中数学；分类讨论；解题应用

数学的思想方法是我们在长期的数学学习中总结和归纳出来的，是数学学习的精华，所以说在初中数学教学中学生对于数学思想方法的掌握是非常重要的。在初中数学教学中，我们常见的数学思想方法有图形结合法、分类讨论法、倒推法等等，分类讨论法是一种非常常见的数学思想方法。本文从数学分类讨论的角度出发，对于分类讨论在数学学习中的使用展开讨论。

一、简述分类讨论思想

学生从小学步入初中以后，所接受的课程难度也上了一个阶梯，数学更是如此，它更考验学生的逻辑思维能力和抽象立体能力，对学生的学习能力有着较高的要求。在我们学习和解析一些数学题目时，会发现有许多计算的路径，而有一类型的题目只能用一种方法解决，甚至还有一些题的答案不止一个。所以说，我们要立足于题目的思维角度，选择一个思维方向，将整个题目分解成不同的部分加以解决，最后得到整个问题的答案。这就是我们即将学习的分类讨论思想。数学的目标并不是以复杂多变的数学问题“为难人”，而旨在以问题贯穿相应的数学思想，这也是数学教育应把握的关键之处。分类讨论思想作为数学研究的重要思想方法之一，其本质是充分运用数学思维、对问题情境进行有效清晰的转换，从而将抽象问题具体化、复杂问题清晰化，达到融会贯通、互相辅助的解题效果。在初中数学教学中，学生对于代数与图形知识已经有了一定储备，此时引入分类讨论思想解决问题，对于学生数学能力与思维水平的提高具有重要的引导作用。

分类讨论思想是我们在解决数学题目中的一个重要路径，同时也是一种比较巧妙的思维方式。分类讨论思想需要学习者应用较高的逻辑思维能力。这种思维方法有利于促进学生对数学的理解，可以养成学生对于数学的认知能力，在我们学习数学的过程中是极为重要的一环。从古至今，我国教育者一直在探索如何改进教学方法，并且已经在教育领域取得了很大的成就，其中分类教学就是我国教育者在探索过程中研究发现的。

分类讨论思想要求我们在使用过程中对题目类型有较高的掌握程度，否则就会被带入思维误区。对于分类讨论，在使用中必须涉及题目的所有解题范围，保障分类思想的全面性、科学性，在此基础上使用分类讨论，可以简化分类讨论解题方法的计算环节。接下来，我们将从分类讨论思想的实际意义、在解题时分类讨论思想起到的帮助作用以及分类讨论思想在解题中的具体应用进行讨论。

二、分类讨论思想在初中数学解题中的实际意义

1.有效提升学生思维活性

在解题过程中，分类讨论思想可以将复杂抽象的问题有效转化为直观关系，但这种转化过程要求学生充分分析问题情境并找到其中的相关联系。这一过程可以鼓励学生通过大胆假设、细心求证的实践，探寻出行之有效的解题思路，能有效地提升学生的思维活性，并在此基础上实现思维联系性与敏捷性的培养，推动数学素养的成长。

2.克服数学问题枯燥难懂的困难

初中生因为自身知识储备的不足以及学习压力的实际情况，对于数学学科容易产生“枯燥”“困难”的抵触情绪。通过分类讨论思想解决初中数学问题，可以有效地打破这一固有思维。通过分类讨论可以大大简化学生的解题过程，同时增强了解题的趣味性与学生的探索欲望。这种解题思路的变化，在一定程度上，也可以有效推动学生由被动学习到自主学习、积极探索的转化，同时促进了教学效率与质量的提升。

3.激发多角度看待问题的探索

分类讨论思想对于初中学生来说，是一种崭新的解题方法。在一开始的解题实践中可能存在理解困难、不易下手的问题，但这种问题却为学生的探索留下了充分的能动空间。数学问题的答案虽然通常是单一且精确的，但其解题过程蕴含着形式多样的方法，在解题过程中，教师通过引导，学生在分类讨论思想的氛围中可以更深层次、更多角度地看待具体问题，从而实现“一题多解”“难题巧解”的积极效果，这一探索为学生自主学习能力与发散性思维的培养提供了充分的条件。

三、实现分类讨论思想有效运用于初中数学解题的具体方法

1.分类讨论思想的应用

普通思维问题的展现虽然较为直观形象，但可能存在不精确的问题，尤其是题目极其简单的具体问题，只通过条件的判断很难解决，这时引入分类讨论就显得尤为重要。例如，有些题目给出的条件非常多，就要考虑在不同的条件下得出的结果。就像在系数k等于0或者正数和负数时的不同区别，分类讨论可以得出很多不同的结论。分类讨论思想可以很好地锻炼学生的多方面考虑能力，让学生的思维变得更加全面，让学生在做每一道题时都能够考虑得更加全面。分类讨论思想还可以有效弥补图形不准确的缺陷，在解题实际中快速有效地得出答案，简化答题思路。

对于数量关系相对抽象的问题，通过直观图形方法的引入，可以有效地发现解决问题的线索。例如，对于初中知识并未明确给出代数解决方法的一元二次不等式，即可通过将问题转化为直线、抛物线等图形在坐标系中解决问题，此时无需极为精确的图形即可解决问题，将抽象问题具体化，显著提升了解题效率。

2.分类讨论思想的多样性

数学学科的奥妙就在于其解题不会仅仅局限于某一思路，而是通过多种方法的引入与融合实现问题的转化。在解题过程中，教师要最大限度地发挥分类讨论思想的优势，就要认真探索分类讨论思想的多样性。例如在一些发散型问题中，求解分数等比数列的和时，由于初中生并不掌握等比数列的相关公式，此时将代数问题变化为分类讨论问题就十分关键，可以想想每一个分数是对一张正方形纸片依次剪切去一半的情况，求其单个面积就十分简单，此时再将图形转化为简单的代数求和即可求解。这一分类讨论方法的使用，充分发挥了分类方法的精确、严谨、清晰性，可以促使学生充分领悟数学思想的奥妙。

四、运用分类讨论思想解题中所需要注意的几点

分类讨论思想作为一个“不走寻常路”的方法，运用起来也是需要注意一些问题的。在学生运用分类讨论思想解决数学问题的时候，一定要确保学生对其定理运用和掌握足够的灵活。在这样的前提下，才会很好地利用，否则如果学生对定理以及概念掌握不深、理解不够，那么分类讨论法将很难以正确的方式呈现。在运用分类讨论思想的过程中首先要熟悉数学的基本公式定理和定理的运用，分类讨论思想需要很强的逻辑性，而如果对公式及定理掌握不深的学生，很容易误用了分类讨论思想，从而将解题变得复杂。

分类讨论解题方法的实质是与直接解题有着同样的效果，他们共同遵循着一定的格式，在一定的条件下是可以相互转换的。

分类讨论法的应用非常考验学生的逻辑能力，就是在平常解题的基础上用相反的思路来解题。从多个方向推理层层递进，分类讨论思想一般遵循着环环相扣的主要逻辑，从而一点点推出符合原命题的结论。然而分类讨论思想在学生做题的时候相较于正常做题时对于格式的要求会更严格、更规范。需要学生将分类讨论思想的过程和步骤更加有条理地写出来。学生在解决实际问题的时候要注意逻辑用语的合理运用。就比如说题目中的结论有“能”“是”“存在”等等，这些表示肯定语式的语句中，或者出现“没有”“不存在”“不可能”“非”等词语，学生在看到这些标志性的词语的时候，都可以考虑用分类讨论思想来对数学题进行解答。如果发现某一问题或者结论在其他方向更容易被理解接受，也可以用分类讨论思想来解决，从而就会在不断探索和总结的过程中发现分类讨论思想的奇妙，继而更好、更合理地运用和掌握分类讨论思想。

数学相比于其他科目较为特殊，课程内容具有很强的抽象思维，因此学生在数学学习中要掌握多种数学思想方法，尤其在解析大题时，数学思想方法的重要性不言而喻，这对于提升学生解题的效率有很大作用。总之，在初中数学教学中，我们要革新传统的教学方法，注意数学思想方法的教学，让每一个学生都能在数学课堂中找到最适合自己的学习方法。对于分类讨论思想，我们不仅要在数学方面推行，还应该融入其他学科中去。

好的学习环境对于学生的学习所起到的效果是不可预估的，它能使学生在学习过程中更加轻松愉快，使学生在学习中遇到困难时，能够积极地去解决问题，而不是一味地埋怨。轻松愉快的学习环境能够有效地避免学习程度较为不好的同学产生嫉妒等不良心理，当然，一些学习程度较好的同学也会积极地为学习程度不好的同学解答疑惑，而不是一味地骄傲自满。好的学习环境能够使得学生在学习过程中互相理解尊重、互相帮助，增强班级的凝聚力。

总之，分类讨论思想这一在数学研究领域占据重要地位的数学思想，具有直观清晰、易于学习的优势，对于初中学生思考与解决数学问题具有显著的作用。教师应鼓励与引导学生将分类讨论思想与题目很好地结合起来，在实际问题中运用分类讨论思想解决问题，将复杂问题简单化，探索问题背后的价值。在這样的解题过程中，应重点培养学生思维的联系性与灵活性，使得分类讨论思想成为其解决问题的常用思路，从而为更多、更高层次的数学思想的引入奠基。分类讨论思想是数学学科解题中一个很重要的问题解决方法，在中学数学中常常被同学们忽视，但又不能被忽视的一个解题方法，只要学生在平时做题或者是练习的过程中多运用，不断巩固学过的公式定理定义之类，就可以在不断的积累和探索中真正做到熟练运用分类讨论思想。

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编辑 温雪莲