高考不等式专题解决问题的思考与对策

福建 周白生

众所周知，不等式是高中数学的重点和难点，一直以来都是高考热点内容．从近几年的高考试题来看，对不等式重点考查的有四种题型：解不等式、证明不等式、不等式的应用、不等式的综合性问题．考查的内容及其难度主要有以下几点：(1)不等式的性质，基本不等式和绝对值不等式的考查，大多出现在选择题或填空题中，一般属于容易题或中档题．因此，关于这一部分的知识，重在记忆并理解基本公式． (2)含参的不等式问题是近几年较多的一种题型，特别是不等式恒成立问题中参数取值范围的求法．(3)不等式几乎能与所有数学知识建立广泛的联系，通常以不等式与函数、三角、向量、解析几何、数列的综合问题的形式出现，综合考查学生的数学抽象、逻辑推理及数学运算等核心素养，问题多属于中档题甚至是难题，对不等式的知识、方法与技巧要求较高．在现行各版本高中教材中，除选修4—5“不等式选讲”外，只在必修5第三章“不等式”与选修1—2(文)、选修2—2(理)第二章“推理与证明”中涉及不等式相关内容，所以不等式课时安排应该算是比较少的．下面根据近年高考不等式专题答题情况对学生存在的主要问题进行剖析．

1.关注平面区域作图教学

高考试卷中线性规划是每年必考的问题，从近几年试题情况看线性规划问题主要考查不含参数截距式问题，不等式组含参数、目标函数不含参数问题，不等式组不含参数、目标函数含参数问题，基本出现的形式都是线性形式，所以平面区域的确定是解题的关键，要确定平面区域的关键在于根据直线方程作出对应直线．

本问题学生答题情况不理想主要原因大致有两点，第一点：没有按统一标准确定可行域.第二点：不能正确理解目标函数所表示的几何意义，也就是不能顺利将这个代数式转化为几何问题进行求解.解答本问题的根本就是依据统一标准(以点定域或是以x的系数或者以y的系数作为统一标准)确定区域，然后通过数形结合的方法确定最优解．

2.强化“分类讨论”意识

分类讨论就是当对所给问题无法一次研究到位时，要对问题分类进行研究并得出每类结论，最后综合各类结果得到整个问题的答案．分类时学生存在遗漏或重复、分层次、越级讨论等错误．导数是高中研究函数性质的重要工具，甚至笔者曾经在学校里听课时，就听到老师讲到函数与导数这个模块，表示问题解决的办法就是求导，也就是拿到题目不管“三七二十一”，求导后再说.不可否认学生经历模式化的求导训练后，对于求导运算基本没有问题，那么现在问题就变为——求导后要干嘛？求导后对应关系已经变化，此时应对导函数进行研究，观察导函数结构是“一次函数”“二次函数”或者是“超越函数”.如果导函数是“一次函数”学生还算驾轻就熟，如果是“二次函数”或者是“超越函数”时，学生往往表现得手足无措，我想这也是导数综合应用问题经常让学生害怕的原因.

函数求导后若要分类讨论，此时函数类型一般是一次函数型或者和一二次函相关的分式函数，教学中应着重强调怎么抓住分类讨论临界点．特别是对于函数与导数中的参数分类，那么这时候分类讨论的依据一般是从方程的根入手．而求方程的根最直接的方法就是因式分解，也就是能分解尽量先分解，不能分解时，若为二次函数那么应求出其判别式，若为超越式那么应该继续求导，也就是导后求导题型.

②当a=1时，恒有f′(x)≤0，

∴f(x)的单调递减区间为(0,+∞)．

当a=1时，f(x)的单调递减区间为(0,+∞)；

3.规范简单的不等式证明书写条理性

不等式选考中证明的常见方法，有分析法、综合法、反证法、换元法等，难度不大，学生主要是解题规范性较差，失误和失分最多的是会而不对、对而不全和全而不准，书写混乱，解答过程缺失关键步骤，丢三落四等．

大部分题目形式上是考查不等式证明，实际主要是在考查不等式的相关性质基础上，结合考查充要条件的判断，所以学生要拿到关键分还应多加注意不等式证明书写的条理性.教师在培养学生逻辑推理能力的同时也有必要向学生展示正确的书写格式，这正与近些年提出的一节课应有一个知识点完整的板书过程相呼应，同时也说明了书写条理性的重要.

【例3】(2015·全国卷Ⅱ理·24)选修4 - 5：不等式选讲

设a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，证明：

(Ⅱ)(i)若|a-b|<|c-d|，则(a-b)2<(c-d)2，即(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd，

∵a+b=c+d，∴ab>cd，于是(a-b)2=(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd=(c-d)2，

因此|a-b|<|c-d|．

4.加强学生读题析题的能力

从近几年高考命题特点上看，综合应用意识以及在现实生活中的实际应用已经成为命题专家着重考查的部分，复习中，应规范教学的阅读指导．应该呈现读题提取关键信息、析题形成解题思路、解题示范规范表达、反思积淀解题经验的“四步曲”完整过程，才能充分发挥解题教学的效益．其次，加强平时的阅读训练．需要适当增加平时作业习题的阅读量，尤其是与实际应用性相结合的试题的读题训练，充分提高学生的阅读理解能力．

线性规划结合实际问题往往需要学生具备良好的数形结合及数学建模能力，通过题目所给信息明确解题目标，也就是将实际问题数学化的过程，即将“文字语言”表达的条件和目标转化为数学的“符号语言”进而解决问题.本类题型一个很大的特点就是信息量大，这有别于传统的短小精悍的数学题，会让学生产生不适感，所以教师在教学上应特别注重学生读题析题能力的培养.

【例4】电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：

连续剧播放时长(分钟)广告播放时长(分钟)收视人次(万)甲70560乙60525

已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x,y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．

(Ⅰ)用x,y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；

(Ⅱ)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？

平面区域如图中阴影部分所示.

(Ⅱ)设总收视人次为z万，则目标函数为z=60x+25y．

又∵x,y满足约束条件，

∴电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多．

5.重视基本性质特征的教学

高考数学试题在不等式内容方面考查的主要问题是其基本性质特征，但是由于不等式的难度较大、技巧较多，所以多以不等式基本性质特征为主要考查内容．命题者常常希望借助不等式强大的融合功能，将其与其他主干知识交汇在一起进行命题，综合考查学生逻辑推理等数学核心素养，这就要求学生具有较强的综合模块知识的能力，能够在考查以其他主干知识为载体的试题背景下，灵活地应用不等式相关性质进行求解．学生这方面的能力是比较欠缺的．所以教师在不等式性质教学上应重视基本性质特征，应尽可能向学生还原数学知识的本质，在面对知识内容较多，解决角度较多的情况下尤其应注意万变不离其宗，应保持以不变应万变的积极心态.例如所给条件既有对数式又有指数式时，解决问题的基本思路应是“化统一”“抓根本”，“化统一”指的是将式子的形式变为统一，“抓根本”就是虽然不等式的很多性质在我们解决数的大小比较上可能帮助很大，但是真正比较大小的主线还是函数的单调性，这才是真正的数学本质.

( )

A.a

C.c

6.强化不等式工具的认识

命题者思考的另一个问题是如何能够找到一种数学工具，将某些难以联结起来的相关知识进行融合，同时能够命制出生动而又有一定难度的试题来，不等式当然是其中之一！在数学教学过程中，我们有时会发现，有些知识的联结存在不对等的关系，但是难以用代数等量之间的关系来表达，这时如何将这些相关知识进行融合就显得很重要了，而不等式正是能够体现这一考查方式的内容之一．近些年不等式强大的融合功能表现得越来越明显了，基本上试卷的压轴题里都有它的“身影”存在.因此在教师的“教”和学生的“学”上要时刻想到不等式的工具作用，尤其在求解最值问题或范围问题上.

【例6】设椭圆中心在坐标原点，A(2，0)，B(0，1)是椭圆两个顶点，直线y=kx(k>0)与AB相交于点D，与椭圆相交于E，F两点．

(Ⅰ)求椭圆的标准方程；

(Ⅲ)求四边形AEBF面积的最大值．

解法2：由上述解法1并结合基本不等式2ab≤a2+b2可得，