基于应用能力培养的三维度线性代数教学模式探索与实践

李晓玲　修春

[摘 要]以独立学院为背景，提出了基于应用能力培养的三维度线性代数教学模式，即四个知识模块构成教学知识体系，每个教学模块下设置四个教学层次实现理论与实践相结合，每个层次由三个环节完成实现课内与课外相结合。与传统的教学模式相比，增加了数学建模和数学实验的环节，引入了Matlab作为工具，不仅使学生对基本知识有了更深刻的理解，而且培养了学生应用数学的能力和使用计算机解决问题的能力。

[关键词]独立学院；线性代数；三维度；应用能力培养

[中图分类号] G642.0 [文献标识码] A [文章编号] 2095-3437（2019）05-0104-03

一、三维度线性代数教学模式提出的背景

习近平总书记在十九大报告里指出，创新是引领发展的第一动力，是建设现代化经济体系的战略支撑。线性代数是研究线性方程组解的一门数学学科，是各院校理工科、经济、管理等专业的一门重要数学基础课程，对学生创新意识和应用能力的培养有重要作用。

但线性代数是一门高度抽象化的学科。传统的教学模式有利于培养学生严密的数学思维能力，但也因为课程本身的抽象性较难引起学生的兴趣，导致很多学生产生“数学无用论”的思想。尤其是线性代数课程的授课对象是大一新生，因为还未接触过多的专业知识，不知道线性代数在其专业课程中的重要性，如果学习不透彻，势必会对未来专业课的学习造成麻烦。因此，基于培养学生应用能力的线性代数教学模式探索势在必行。

北京交通大学海滨学院是一所独立学院，以培养应用技术型人才为主要目标。本文即以此当背景，提出了三维度线性代数教学模式，将传统教学中“讲授—理解—记忆—练习—测试”的模式改变为“讲授—理解—探索—发现—实践—再理解—记忆—应用”的模式，增强了线性代数课程的趣味性，提高了学生学习线性代数课程的主动性，加深了学生对于线性代数应用性的认识，锻炼了学生的应用能力。

二、三维度线性代数教学模式的设计和实施

所谓三维度线性代数教学模式是指在传统教学模式的基础上，增加应用教学和实验教学，提出了4*4*3的理论与实践相结合的教学模式。

（一）横轴——四个知识模块构成教学横轴，首先使学生系统地了解线性代数的知识体系

传统的线性代数教学内容较多，理论性强，不太适合独立学院的学生学习。根据线性代数的知识体系，结合独立学院课时安排、学生基础薄弱的特点，我们对传统线性代数的教学进行了优化整合，将知识点主要分为矩阵及初等行变换、线性方程组及向量组的线性相关性、方阵的行列式和相似矩阵、二次型四个模块，与传统教学内容相比，删除了线性空间与线性变换的内容。

将矩阵及初等行变换作为第一模块，突出了矩阵及初等行变换的首要地位。矩阵理论是线性代数理论的重要部分，矩阵也是线性代数课程主要的研究对象，故在第一章里，重点介绍什么是矩阵及矩阵的初等行变换。由于矩阵对于大一新生来说是一个陌生的概念，因此选择从方程组入手，引入矩阵的概念，又通过求解线性方程组的过程引出初等行变换，这样学生比较容易接受。

将线性方程组及向量组的线性相关性作为第二模块，则能够使学生更系统地理解线性方程组与向量组，矩阵之间的关系，与传统教学模式相比，先介绍向量组的线性相关性，结合第一章已经对矩阵和线性方程组之间的关系建立起来，从而给出向量组的线性相关性与线性方程组解的结构之间的关系，将向量组的秩与矩阵的秩融合，从而引出矩阵秩的概念。

第三模块的行列式，作为线性代数的工具，对于学生来说却是一个抽象的概念。传统教学中往往是先给出二阶，三阶行列式，再给出排列、逆序数n阶行列式定义等抽象概念，改革后先由求解线性方程组引出二阶，三阶行列式，通过寻找二阶、三阶行列式的规律得到n阶行列式的定义，简单介绍排列、逆序数概念，删除对换概念。由于前述知识中学生已经对方阵和线性方程组有了很深的理解，这里再来学习行列式就比较容易接受了，符合学生的认知规律。在介绍了定义之后，重点讲解行列式计算的几个方法。对于行列式的性质，则不再做大篇幅的证明，采取例证的方法，让学生会用就好。

最后，将相似矩阵及二次型作为第四个模块，融合线性变换和线性空间的基础，介绍了向量的正交、正交矩阵、矩阵的特征值与特征向量、相似矩阵等概念，最后给出二次型的概念及如何将二次型化为标准型。

对于一门新课程，教师应该在第一节课就让学生明白该课程的知识脉络，对基础知识有一个基本的把握。通过这样的设计，学生在第一节课就能够在头脑中形成一条比较清晰的知识链。

（二）纵轴——每个知识模块分为四个层次，从而实现理论与实践相结合

与以往只讲授系统理论知识不同，现在把每个知识模块的教学分为四个层次，即“基本知识—重要技能—应用能力—數学实验”。独立学院学生思维敏捷活跃，但是学习能力差，学习兴趣不够，知识基础薄弱。所以，作为针对独立学院学生的数学课程重点在于“用数学”思想的普及，激发学生学习数学的兴趣，让学生了解数学广泛的应用领域。为此，在基础知识层次，以基本概念为主，忽略一些定理的严格证明，课堂上适当补充一些关于定义定理的来源和数学家的故事等，以提高学生学习的兴趣。在重要技能层次，总结每一模块的重要知识点，有针对地着重训练，让学生在学习过程中不再是被动地接受，而是能够轻易抓住重点，从而将知识体系把握的更牢固。在应用能力层次，每一模块都选择一到两个不同领域的实用案例供学生建模和思考，这一方面普及了数学建模的思想，另一方面也让不同专业的学生了解到线性代数广泛的应用性和作为一门基础课程在今后学习中的重要性。在数学实验层次，以数学软件（如Matlab）为平台，介绍本章知识点如何通过数学软件实现，并与前述实用案例相结合，使学生完整的完成一个数学建模过程，提高学生“用数学”的能力。

第一模块教学层次如图所示。

在前四节介绍了矩阵、矩阵的运算、矩阵的初等行变换与线性方程组、初等矩阵与方阵的逆。在本章中，学生重点掌握初等行变换的方法，它是整个线性代数学习过程中重要且必备的技能。

除了对矩阵基本知识的优化整合，减少抽象概念，弱化理论证明外，还加入实验与应用章节。给出了两个数学建模案例，一个是网络流模型，网络流模型广泛应用于交通、运输、通信、电力分配、城市规划、任务分派及计算机辅助设计等众多领域，引用一个简单的单行道的交通流量问题，给出线性方程组，让学生体会矩阵及线性方程组的用途，也让学生理解了网络流模型的基本内涵。另一个是投入产出模型，它有一个基本假设：产出=需求。给出一个经济体系中的制造业、农业、服务业的消耗向量，通过建立消耗矩阵及投入产出模型，得到一个线性方程组，从而求出了三个行业的产量。在本案例中，用到了通过对增广矩阵进行初等行变换的方法来求解线性方程组。将理论与应用结合起来，使抽象的数学知识有其应用的具体载体，提高了学生的学习兴趣和动力，锻炼了学生用数学知识解决实际问题的思维方式。

最后，引入专业数学软件Matlab完成3～5个数学实验。在第一章中，我们首先对Matlab做一个基本的介绍，给出本章所需要的常用命令并设计了四个实验供学生完成，实验1为对矩阵的加减乘幂运算的计算，实验2 为计算矩阵的秩，实验3为求矩阵的逆，实验4是对前述投入产出模型的求解。具体方式如下所示。

由于Matlab的基本操作对象是矩阵，它有着强大的数值计算能力和图形处理能力，引入数学实验，一方面能够使传统教学更加生动，另一方面减少了课堂上烦琐计算的时间，缓解了线性代数课时不足的问题。

在第二模块，基础知识层次由 n维向量的概念、向量组的线性相关性、线性方程组的解的结构、矩阵的秩组成；重要技能是在理解了向量组的线性相关性与线性方程组解的结构及矩阵的秩之间的充分必要性后，如何判断向量组的线性相关性；应用能力层次则设计了一个调味品配置问题：某调料公司用五种原料来制造多种调味品。表格形式给出了三种调味制品[A，B，C]每包中所需各种成分的量。在这样的背景下给出问题：

（1）为了能配制出其余几种调味品，这位顾客要购买的最少的调味品的种类是多少，并写出所需最少调味品的集合。（2）在（1）中得到的最小调味品集合是否唯一？若不唯一，给出另外的情况。（3）利用在（1）中找到的最小调味品集合，配置一种新的调味品。

这三个问题，本质就是考查学生对于向量组中最大无关组概念及秩的理解，以及给定一个向量如何判断它是否能用已知向量组线性表示的问题。这样的设计不仅生动有趣，而且使得抽象的知识具体化，让学生知道所学知识用来解决什么样的及如何解决实际问题。数学实验层次设计了三个大实验：用Matlab求向量组的秩，判定线性相关性及求解线性方程组，在求解线性方程组实验中设计了四个题目，分别让学生体会用数学软件求解不同类型题目的共性和区别。

在第三模块，基础知识层次由行列式的定义，行列式的性质及计算，行列式按行（列）展开及计算，行列式的应用组成；重要技能是行列式的计算；应用能力层次设计了两个案例，一个是逆矩阵在加密传输中的应用，一个是营养食谱问题；数学实验层次设计了三个实验：计算没有未知量的行列式的值，计算带有未知量的行列式的值以及应用克拉默法则解线性方程组。

在第四模块，基础知识层次由向量的内积长度及正交性，方阵的特征值及特征向量，相似矩阵，二次型及其标准型组成，重要技能是如何计算方阵的特征值及特征向量。应用能力层次设计两个应用问题，一个是预测人才流动及商品的销售趋势，一个是最值问题。数学实验层次设计了两个实验：求矩阵的特征值和特征向量以及用正交变换化二次型为标准型。

（三）竖轴——每个层次由三个环节完成，从而实现课内与课外相结合

每个层次我们分为三个环节来完成，即“课堂讲授—课堂实践—课下拓展”。

传统的线性代数教学中，往往因为大量的手工计算而使得课堂教学过程枯燥。

课堂讲授环节重点讲授基本概念，方法和技巧性不是很强的计算过程，目的在于让学生们掌握基本方法和思路。对于大部分定理的证明直接略过或者采取例证的方法。使学生能够抓住基础和重点，留出一部分时间进行课堂实践。

独立学院学生的自主学习意识普遍较差，为此必须有课堂实践，让学生们自己操作练习，教师在旁指导，可以使学生对重点的概念和计算方法有消化理解的过程，也方便教师随时掌握学生的学习情况，对于接受能力较差的学生给予及时指导，避免了部分学生由于一节课没听懂后面就都听不懂，然后自我放弃的情况出现。

对于一些较占用时间，技巧性较强的计算题目则放在课下实践环节中，由学生借助数学软件完成，并且可以结合应用案例，自我探索，发现，实践，使得学生对基础知识有更进一步的理解。由于这部分作业的应用性和可操作性，也缓解了平时学生消极完成课下作业的情况。另外，为了让学生能够更好地抓住所学重点，我们还给教材配备了与之对应的习题册，供学生在课下完成。习题册的题目由简到难，层次清晰，部分章节还设置了选作题，供学有余力的学生思考和练习。

三、结语

基于应用能力培养的三维度线性代数教学模式弱化了传统线性代数教学中的一些理论和证明，较抽象的定理采取例证的方法，使学生更容易理解和接受。将数学模型和数学实验加入到教学过程中，使一些概念能够数形结合更加生动，这节省了大量的手工计算时间，课时利用更充分，也使得学生明白了线性代数的应用性，培养了学生应用数学知识解决实际问题的能力，让抽象的数学知识有了具体应用的载体，提高了学生学习的兴趣和动力。这比较适用于独立学院学生的接受能力和学习习惯，也符合独立学院的办学宗旨和目的。

[ 参 考 文 献 ]

[1] 陳丙振.线性代数[M].北京：机械工业出版社，2014：1.

[2] 王兵团.matlab与数学实验[M].北京：清华大学出版社，2004：12-14.

[3] 李永艳.独立学院学生学习大学数学情况的调查与研究[J].大学教育，2014（15）：40-41.

[4] 孙海英，李文正. 以数学实验为平台 培养学生的数学应用意识和应用能力[J].教育教学论坛，2018（22）：279-280.

[5] 王军霞，黄娟. 将数学实验融入到线性代数的教学[J].数学教学研究，2011（2）：48-51.

[6] Xiaoling Li，Wenjuan Zhai.Reform and Practice of Mathematical Modeling and Mathematical Experiment Course in Independent College [J]. Science Innovation，2016：9-11.

[7] 修春，周天宠. 独立学院《线性代数》课程改革探讨[J].课程教育研究，2014（9）：153.

[责任编辑：林志恒]