有关抛物线弓形面积的结论及其应用

郑金

摘要：利用数学和物理知识推导有关抛物线任意弓形的内接最大三角形的中线数学性质;利用抛物线的对称弓形面积的结论推导任意弓形面积的结论，以巧妙解答文中物理竞赛题.

关键词：抛物线;弓形;面积

利用抛物线对称弓形面积的结论和抛物线任意弓形的内接最大三角形的中线结论可以巧妙证明抛物线任意弓形面积的结论;反之，利用抛物线任意弓形面积的结论很容易得出对称弓形面积的结论，如图1所示，抛物线的对称弓形AOB，外切矩形ABCD，在直角坐标系中写出抛物线方程y=ax2，设B点坐标为（xo，yo），可知曲边直角三角形10CB的面积为S[=S*ax2dx=一ax3|o*0=3axn=-Yoxo，即等于象限矩形OCBE面积的三分之一，那么对称弓形面积等于外切矩形面积的三分之二.若作线段AO、BO，可知内接最大三角形AOB的面积等于外切矩形面积的一半.

结论1抛物线上的对称弓形面积等于外切矩形面积的2/3，等于内接最大三角形面积的4/3

如果抛物线弓形不是对称弓形，而是任意弓形，那么其面积是否等于外切矩形面积的三分之二呢？

首先利用物理知识证明抛物线的一个性质：对于抛物线.上的任意弓形，内接最大三角形的一条中线平行于对称轴.

对于质点的竖直上抛运动，整个过程为匀减速直线运动，位移公式为y=Upt一gt2，其图象如图2所示.作倾斜的弦AB，其斜率的绝对值表示这段时间内的平均速度大小;作切線平行于弦，切线斜率的绝对值表示瞬时速度的大小，而且等于这段时间内的平均速度大小，因此切点的横坐标表示瞬时速度与这段时间内的平均速度相等的时刻.根据匀变速直线运动在一段时间中点的瞬时速度等于这段时间内的平均速度可知，切点的横坐标恰好是这段时间的中间时刻，那么过切点与弦的中点的直线恰好在梯形的中位线上，必然平行于抛物线的对称轴.

结论2对于抛物线上的任意弓形，若切线平行于弦，则过切点与弦的中点的直线平行于对称轴，或者说，抛物线弓形的内接最大三角形的一条中线平行于对称轴.

利用_上述结论和解析几何知识可推导拋物线上的任意弓形面积与内接最大三角形面积的数量关系，2

设抛物线方程为y=ax2（a>0），图象如图3所示，可知弦AB与横轴围成梯形的面积为：

S[=t（cax[+ax2）（x1-x2）2322=一axi-x2）+ia（x2x1-x122）22

抛物线与横轴围成的两个曲边三角形的面积为：

S2=2133**axi+lx1ax=a（-4）3

可知抛物线弓形的面积为：

S=S，-S，=一ax26l-x2）

线段AB即内接三角形一条边的中点坐标为：

22、xC二一（x[+x2），Yc=Ta（x[+x2）22

由于抛物线的弓形内接最大三角形的中线CD平行于对称轴，则对应顶点的纵坐标为：

y=（3x1x7++}x）p=r（（

三角形中线的长度为.d=2）（x1-x2）232

由于中线垂直于x轴，则内接最大三角形面积为：

S=2）（x1-x2）2322=一axi-x2）+i

所以弓形面积与最大三角形面积之比为

由于弓形的外切矩形面积等于内接最大三角形面积的2倍，因此弓形面积等于外切矩形面积的2/3.

结论3抛物线上的任意弓形面积等于以弦为一条边的外切矩形面积的2/3，等于以弦为底边的内接最

大三角形面积的4/3.

这个数学结论简单易记，而且推导方法很巧妙，关键是利用物理知识推导数学结论2，从而由特殊结论得出—般结论，更有助于对特殊结论的深化理解和强化记忆至此，特殊结论与一般结论可合二为一，即抛物线弓形面积等于外切矩形面积的三分之二。下面利用抛物线弓形面积的结论来解答以下物理竞赛题.

例1如图4所示，一个质量为m、带电荷量为+q的滑块处于场强按E=E，-ht（E.、h均为大于零的常数，取水平向左为正方向）变化的电场中，滑块与竖直绝缘墙壁间的动摩擦因数为μ，当t=0时，滑块处于静止状态.若滑块所受的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，且电场空间和墙面均足够大，不计滑块与墙壁摩擦过程中损失的电量，试求：（1）滑块何时开始下滑？何时开始离开墙壁？（2）滑块运动的最大速度是多少？（3）滑块沿墙壁运动的最大位移是多少？

解析（1）当t=0时，滑块处于静止状态，在开始一段时间内滑块与墙壁之间的弹力较大，不会下滑;当场强减小到某一值时，在tn时刻开始下滑;当场强继续减小到零时，在tr时刻滑块将离开墙壁.

ty时刻滑块受到墙壁的弹力为Fv=F。=qE=q（E，-ht）

当摩擦力跟重力平衡时，滑块开始下滑，利用mg.=uFv可得么_MLEn-m，，此时滑块的速度为零.

（2）由于滑块加速下滑，则在时刻t2的速度最大.设某时刻t，物块的加速度为a，此时弹力为N=qE=q（E，-kht），由牛顿第二定律有mg-μN=ma，可知瞬时加速度为a_thqt+mg-μqE

加速运动的时间为Ot=t-t，初速度为零，由匀加速运动的速度公式可得在时刻t的瞬时速度为：

（3）速度与时间的关系式为v=At2+Bt+C，这是关于时刻t的一元二次函数，可知速度图象为开口向上的抛物线.由于物块在加速运动过程中的速度大于零，而且初速度和开始时的加速度都为零，因此抛物线的顶点必与横轴相切，或者根据判别式△=B2-4AC=0来判断抛物线的顶点与横轴相切，则对称轴的坐标为t=t，或t=25_-B2A_μqE，-mgμkq=ti.速度图象如图5所示.

在时刻t，到tr这段时间内，滑块的位移在数值上等于图象与横轴围成图形的面积，即为曲边三角形Pt2z的面积，其底边长为Ot=tz-tp=mgμkq，可知图形的面积即滑块的位移为：