从一道高考圆锥曲线解答题谈解析几何备考策略

甘肃省秦安县第二中学 (邮编：741600)

甘肃省秦安县郭嘉镇槐川初级中学 刘娟娟 (邮编：741600)

2018年全国高考数学新课标卷Ⅲ理科第20题总体上保持了近几年来的命题特色，是一道直线与椭圆的位置关系问题，以中点弦问题为依托，主要考查了直线与椭圆的位置关系以及等差数列，体现了高考试题在知识交汇处命题的特点，考查了数形结合思想，也考查了考生的数学抽象、逻辑推理和数学运算的核心素养.其中第(Ⅰ)问容易入手，第(Ⅱ)问难度较大，前后两问之间有很好的梯度性，具有很好的选拔功能.本文对这道试题进行解法、源头和变式探究，并结合这道试题来谈一下解析几何的备考策略.

1 真题再现

2 解法探究

证法2 设直线l的方程为y=kx+t，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，

(4k2+3)x2+8ktx+4t2-12=0，

则△=64k2t2-4(4t2-12)(3+4k2)>0，得4k2+3>t2

①

由韦达定理以及中点坐标公式，可得

因为m>0，所以t>0，k<0，且

②

整理可得，(3cos2α+4sin2α)t2+(6cosα+8msinα)t+4m2-9=0，

由t的几何意义知|MA|=|t1|，|MB|=|t2|，因为点M在椭圆，这个方程必有两个实根，由根与系数关系，得

28x2-56x+1=0，解得

解法赏析第(Ⅰ)问的证法1运用了点差法，点差法可以看成破解圆锥曲线中点弦问题的通法；第(Ⅰ)问的证法2运用了参数法，将直线方程和椭圆方程联立后运用韦达定理和坐标运算，发挥判别式的制约作用；第(Ⅰ)问的证法3运用了参数方程法，令人耳目一新.第(Ⅱ)问既运用了点差法，也运用了参数法，利用等差中项的定义证明了等差数列，体现了函数与方程、化归与转化的思想.从以上可以看出，选择不同的解法，运算的繁琐程度不同.本题中的运算是借助几何图形进行的代数运算，考查了运算求解能力，体现了数学运算的核心素养.解析几何的运算通常集“繁、长、巧”于一体，让很多同学望而生畏.究其原因，主要是同学们在运算长度的判断上出了问题：不能预估选择的解题方法会有怎样的运算及运算长度.若在解题过程中，同学们能认识到解题环节产生的运算，并通过分析进行合理的调控，更深入地理解算理，这样才可以提高运算的灵活性.

3 源头探究

“问题那得清如许，为有源头活水来” .以下对这道题探源，揭开这道题的“庐山真面目”.

3.1 源头1

(1)这组直线何时与椭圆相交？

(2)当它们与椭圆相交时，证明这些直线被椭圆截得的线段的中点在一条直线上.

真是“众里寻它千百度，那题却在课本习题处”,也体现了“高考题出于课本，高于课本”.

3.2 源头2

在历年高考真题中，也有该高考题的“影子”，2015年全国高考新课标卷Ⅱ理科第20题为：

已知椭圆C：9x2+y2=m2(m>0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A、B，线段AB的中点为M.

(1)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；

通过探源，我们发现这道题既可以看成改编自课本，也可看成改编自历年高考真题.

4 变式探究

圆锥曲线有太多类似的性质，可模仿命题者的思路，对以上试题进行改变，得到了一道变式题.

变式已知斜率为k的直线l与抛物线C：y2=4x交于A、B两点，线段AB的中点为M(1,m)(m>0).

(1)证明：k>1；

(y1+y2)(y2-y1)=4(x2-x1)，

因为点M在抛物线C内，所以m2<4，结合m>0，所以01.

(2)由题设可得F(1,0)，设P(x0,y0)，

所以x0=1，y0=-2m，

因为点P在抛物线C上，所以(-2m)2=4，所以m=1，所以P(1,-2)，k=2.

所以直线l的方程为y-1=2(x-1)，即

y=2x-1，

4x2-8x+1=0，

由根与系数关系，可得

5 对2019年备考策略的建议

5.1 回归课本，夯实基础，构建知识网络

近几年来高考数学试题遵循“大稳定，小创新”的方针，重视基础知识和基本技能的考查.同时，通过上面对圆锥曲线真题的分析，发现源自课本.因此回归课本应贯穿圆锥曲线复习的自始至终.因为课本是数学知识的“生长地”，课本是高考复习的“根据地”，课本是高考试题的“策源地”，回归课本是高考复习的起点，研究课本，就是要看考题与课本的关系，从高考的要求出发，把课本熟化，公式定理能信手拈来，基本题型能“借题发挥”.在回归课本的基础上，要着重强化对知识的梳理、优化知识结构、构建知识网络.

5.2 注重通性通法

高考中解析几何试题通常是对常见题型进行加工改编，通过对基础知识的整合、变式和拓展，从而加工为高立意、新情境、巧设问的解析几何问题，坚持新题不难，难题不怪的命题方向.这要求同学们要通过高中学习掌握基础知识、基本概念、基本技能和基本数学思想的应用，通过对教材中基本例习题的变通，积累一些常规基本问题的解法，反复体会其中蕴含的思维方法.把解题方法提高到数学思想的高度，提高分析和解决综合问题的能力.例如，对于圆锥曲线的中点弦问题，要优先考虑点差法；对于求椭圆离心率的题目，大多要利用数形结合法，结合椭圆的定义求解.对于抛物线的焦点弦和焦半径问题，要根据焦点弦公式和焦半径公式，结合抛物线定义求解.在求椭圆的弦长时，利用弦长公式，运用设而不求的方法.

5.3 提高数学运算求解能力，发展数学运算的核心素养

高考数学答卷中反映出的问题之一是部分考生的运算能力差，是最头疼的事，有的考生想得很好，但运算过不了关，一道长题一开始就错，而自己没有自查能力，一直错到底，多么可怕呀！

而出错的原因往往很简单，就是诸如一个负号的问题，直线方程和圆锥曲线方程联立化简整理时出错，太可惜.数学运算能力的培养不仅仅是高三复习的事，应该贯穿于高中数学学习的始终.特别是解析几何解答题，综合性强，代数推理要求高，运算求解能力要求高，繁杂和冗长的计算是必不可少的，因此同学们要通过强化数学思想方法，特别是函数与方程、数形结合、等价转化、分类讨论等理解算理，从而提高自己的运算求解能力，发展自身的数学运算核心素养.

5.4 研历年高考真题，体会命题专家的命题思路

高考试题不仅具有选拔功能，还具有很好的教育功能.高考试题凝结了命题专家的智慧与匠心，具有较强的原创性与指导意义，有利于考查考生的探究意识与创新精神.有部分高考试题是往年真题的同类题或“翻版”， 因此，在平时的学习中，对高考试题进行适当发散研究，不仅可以理清脉络，把握高中数学主干知识，避免高三复习的随意性、盲目性，而且可以有效训练同学们自己的思维，提高探究能力，培养创新意识.

5.5 重视新增知识，关注知识交汇

对新增的极坐标与参数方程等知识，要引起足够的重视，比如，前面真题第(Ⅰ)问的证法3就是用参数方程做的，在高考中如果没想到其他方法，选用参数方程法，也是很好的.同时，要关注知识交汇，本文开头的高考真题，可以看成是解析几何与向量、等差数列的交汇，从历年高考试题来看，有时，解析几何真题也与导数、不等式、三角函数等交汇，也充分体现了考试中心提出的“应更多地从知识网络的交汇点上设计题目，从学科的整体意义、思想含义上考虑问题”的思想.