抛物线与x轴所围面积公式

尚佩瑶 魏春强

摘 要：结合初高中知识与高等数学知识，推导出一个抛物线与x轴围成图形的面积公式。

关键词：抛物线；面积；韦达定理；定积分

已知，抛物线y=ax?+bx+c（a<0），与x轴交于两点，A（[x1]，0），B（[x2]，0），求抛物线与x轴围成图形的面积。如图

易知Δ>0且a<0。

根据韦达定理可知[x1+x2]=[-ba]，[x1?x2]=[ca]，

[x2-x1=x2-x12]=[x1+x22-4x1x2]=[b2-4ac-a]，则由积分定义可得：S=[x1x2ax2+bx+c?x]

=[13ax3x2x1]+[12bxx2x1]+[cxx2x1]

=[13ax32-x31+12bx22-x21]+[cx2-x1]

=[x2-x1][[13ax21+x22+x1x2+12bx1+x2+c]]

=[{13a[-ba2-ca]+12b?（-ba）+c}（b2-4ac-a）]

=[-[-b2+4ac6a2（b2-4ac）]]

=[（b2-4ac）（b2-4ac）6a2]

因为Δ大于零，所以[b2-4ac]>0.因此此时S=[（b2-4ac）（b2-4ac）6a2]

反之，当a>0时，仿照以上可得S=[|（-b2+4ac）（b2-4ac）6a2|]。因为Δ大于零，所以[b2-4ac]>0，故[-b2+4ac]<0。又因为所围成的面积必定大于零，故S=[（b2-4ac）（b2-4ac）6a2]。通过上述推导可知，无论a为除零之外的何值，当Δ大于零时，抛物线与x轴所围图形的面积为S=[（b2-4ac）（b2-4ac）6a2]。

参考文献

[1]同济大学数学系.高等數学上册[M].北京：高等教育出版社，2014（7）.